Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B x y c o s x 2 d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y x y c o s x 2 d x d y = ∫ c d ∫ a x b x x y c o s x 2 d y d x

Além disso, o exercício dá os intervalos:

0 ≤ x ≤ 1

E

x 2 ≤ y ≤ 1

No entanto, por conveniência, se torna melhor fazer uma mudança de variável para facilitar o cálculo, ou seja:

0 ≤ y ≤ 1

E

0 ≤ x ≤ y

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 1 ∫ x = 0 x = y x y c o s x 2 d x d y

Através do método da substituição simples com u = x 2 e d u = 2 x d x :

F = ∫ 0 1 y ∫ c o s u d u 2 | x = y x = 0 d y

F = 1 2 ∫ 0 1 y s e n u | x = y x = 0 d y

Voltando para a variável original:

F = 1 2 ∫ 0 1 y s e n x 2 | x = y x = 0 d y

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = 1 2 ∫ 0 1 y s e n y d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y através do método da integração por partes com u = y e d v = s e n y d y , tal que d u = d y e v = - c o s y . Lembrando que o método é dado pela equação:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então:

F = 1 2 - y c o s y + ∫ c o s y d y | y = 1 y = 0

F = 1 2 s e n y - y c o s y | y = 1 y = 0

E, substituindo o intervalo de integração:

F = 1 2 s e n 1 - c o s 1

Resposta

1 2 s e n 1 - c o s 1

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