Enunciado

Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B x d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y x d x d y = ∫ c d ∫ a x b x x d y d x

Fazendo o esboço do conjunto B conclui-se que a figura é um triângulo, mas devido à variação do valor da variável x , a figura pode ser separada ao meio, onde a equação das retas (que representam os lados do triângulo) se altera. Ainda, como o valor de x tem maior variação, torna-se mais conveniente deixá-lo em função da outra variável e manter y com variação constante. Logo, o esboço é dado por:

Além de:

0 ≤ y ≤ 1

E

y ≤ x ≤ - y + 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 1 ∫ x = y x = - y + 2 x d x d y

F = ∫ 0 1 x 2 2 | x = - y + 2 x = y d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = ∫ 0 1 1 2 - y + 2 2 - y 2 d y

F = 1 2 ∫ 0 1 y 2 - 4 y + 4 - y 2 d y

F = ∫ 0 1 - 2 y + 2 d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y :

F = - y 2 + 2 y ⁡ | y = 1 y = 0

E, substituindo o intervalo de integração:

F = - 1 + 2 = 1

Resposta

1

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