Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B x y x 2 + y 2 d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y x y x 2 + y 2 d x d y = ∫ c d ∫ a x b x x y x 2 + y 2 d y d x

Como a figura em questão é um retângulo, sabe-se que o valor das variáveis variam de forma constante. Dessa forma, é possível resolver as integrais de forma direta por integrais definidas com os limites de integração dados por:

0 ≤ x ≤ 1

E

0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 1 ∫ y = 0 y = 1 x y x 2 + y 2 d y d x

A integral interna pode ser resolvida através do método da substituição simples tomando u = x 2 + y 2 , tal que d u = 2 y d y . Então:

F = ∫ 0 1 x ∫ 0 1 u d u 2 d x

F = ∫ 0 1 x 2 2 3 u 3 / 2 | y = 1 y = 0 d x

Voltando para a variável original:

F = ∫ 0 1 x 3 x 2 + y 2 3 / 2 | y = 1 y = 0 d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = ∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 3 / 2 - x 2 + 0 3 / 2 d x

F = 1 3 ∫ 0 1 x x 2 + 1 3 / 2 - x 4 d x

Passo 3

Agora, para integrar em relação a x , a primeira parte pode ser resolvida através do método da substituição simples, com v = x 2 + 1 e d v = 2 x d x :

F = 1 3 ∫ 0 1 v 3 / 2 dv 2 - x 5 5 ⁡ | x = 1 x = 0

F = 1 6 2 5 v 5 / 2 | x = 1 x = 0 - 1 15

Voltando para a variável original:

F = 1 15 x 2 + 1 5 / 2 | x = 1 x = 0 - 1 15

E, substituindo o intervalo de integração:

F = 1 15 1 + 1 5 / 2 - 0 + 1 5 / 2 - 1 15

F = 1 15 32 - 1 - 1 = 1 15 4 2 - 2

Ou:

F = 2 15 2 2 - 1

Resposta

2 15 2 2 - 1

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