Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

l)

f(x, y) = x^5 \* cos(y^3) e B = {(x, y) ∈ R^2 | y >= x^2, x^2 + y^2 <= 2}

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B x 5 c o s y 3 d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y x 5 c o s y 3 d x d y = ∫ c d ∫ a x b x x 5 c o s y 3 d y d x

Fazendo o esboço do conjunto B , temos:

Através dos limites das variáveis dados pelo enunciado, pode-se tirar algumas conclusões sobre os valores de cada uma. Dessa forma, a partir da inequação da circunferência:

x ≤ ± 2 - y 2

Assim, os intervalos serão:

0 ≤ y ≤ 2

E

- 2 - y 2 ≤ x ≤ 2 - y 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 2 ∫ x = - 2 - y 2 x = 2 - y 2 x 5 c o s y 3 d x d y

F = ∫ 0 2 c o s y 3 x 6 6 | x = 2 - y 2 x = - 2 - y 2 d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = ∫ 0 2 c o s y 3 6 2 - y 2 6 - - 2 - y 2 6 d y

F = ∫ 0 2 c o s y 3 6 2 - y 2 3 - 2 - y 2 3 d y

Agora repare! O valor da diferença será nulo! Isso significa que a nossa integral será nula também!

F = 0

Resposta

0

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