Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B 1 ln ⁡ y d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y 1 ln ⁡ y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x 1 ln ⁡ y d y d x

Além disso, o exercício dá os intervalos:

0 ≤ x ≤ 1 y

E

2 ≤ y ≤ 3

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 2 3 ∫ x = 0 x = 1 / y 1 ln ⁡ y d x d y

F = ∫ 2 3 x ln ⁡ y | x = 1 / y x = 0 d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = ∫ 2 3 1 y ln ⁡ y d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y através do método da substituição simples com u = ln ⁡ y e d u = d y / y :

F = ∫ 2 3 1 u d u

F = ln ⁡ u | y = 3 y = 2

Retornando à variável original:

F = ln ⁡ ( ln ⁡ y ) | y = 3 y = 2

E, substituindo o intervalo de integração:

F = ln ⁡ ( ln ⁡ 3 ) - ln ⁡ ( ln ⁡ 2 )

Resposta

ln ⁡ ( ln ⁡ 3 ) - ln ⁡ ( ln ⁡ 2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados