Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_D^() x sqrt(y^2 - x^2) d A , D = {(x , y)| 0 <= y <= 1 , 0 <= x <= y }

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na seguinte forma:

int_0^1 int_0^y x sqrt(y^2 - x^2) d x d y

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_0^1 (int_0^y x sqrt(y^2 - x^2) d x) d y = int_0^1 ([- ((y^2 - x^2)^((3)/(2)))/(3)]_0^y) d y = int_0^1 (1)/(3) (- (y^2 - y^2)^((3)/(2)) + (y^2 - 0^2)^((3)/(2))) d y = int_0^1 (1)/(3) (- 0 + (y^2)^((3)/(2))) d y = int_0^1 (y^3)/(3) d y

Passo 2

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

int_0^1 (y^3)/(3) d y = [(y^4)/(12)]_0^1 = (1)/(12)

Show?

Resposta

(1)/(12)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla. ∬ D x + 2 d A ,D = x , y | 0 ≤ y ≤ 9 - x 2
Calcule a integrais iteradas. ∫ 0 1 ∫ y 2 - x ( x 2 - y ) d yd x
Calcule a integrais iteradas.int_0^1 int_y^(e^y) sqrt(x) d x d y
Determine o volume do sólido dado.Abaixo do plano x + 2 y - z = 0 e acima da região limitada por y = x e y = x 4 .
Determine o volume do sólido dado.Abaixo da superfície z = 2 x + y 2 e acima da região limitada por x = y 2 e x = y 3 .