Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B 1 d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y 1 d x d y = ∫ c d ∫ a x b x 1 d y d x

Fazendo o esboço do conjunto B :

Podemos ver a curva que fica acima da outra se mantém durante todo o intervalo. Dessa forma:

0 ≤ x ≤ π 2

E

1 - c o s x ≤ y ≤ s e n x

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 π / 2 ∫ y = 1 - c o s x y = s e n x 1 d y d x

F = ∫ 0 π / 2 y | y = s e n x y = 1 - c o s x d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = ∫ 0 π / 2 s e n x - 1 + c o s x d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = - c o s x + s e n x - x | x = π 2 x = 0

E, substituindo o intervalo de integração:

F = s e n π 2 - π 2 + 1

F = 2 - π 2

Resposta

2 - π 2

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