Enunciado

Utilize a propriedade 11 para estimar o valor da integral.

∬ Q e - ( x 2 + y 2 )   d A ,

onde Q é o quarto de círculo com centro na origem e raio 1 2 no primeiro quadrante.

Passo 1

A questão pede para usarmos a propriedade 11 apresentada no capítulo para estimar (não calcular exatamente) o valor da integral. Essa propriedade basicamente diz que se a função for limitada (isto é, m ≤ f x , y ≤ M ) em toda a região de integração, então a integral de f na região também será limitada:

m ⋅ A ≤ ∬ f x , y   d A ≤ M ⋅ A ,

onde A é a área do domínio de integração.

Desta forma, neste problema, temos que calcular A e achar os números m e M que limitam a função para, assim, estimar o valor da integral.

Passo 2

Como a região de integração é interna à circunferência centrada na origem e de raio 1 2 , temos que

0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1 4

Assim,

- 1 4 ≤ - x 2 + y 2 ≤ 0

Como a exponencial é crescente, a última desigualdade implica

e - 1 / 4 ≤ e - x 2 + y 2 ≤ e 0 = 1

Assim, como f x , y = e - x 2 + y 2 , temos que m = e - 1 / 4 e M = 1 .

Passo 3

A área da região é um quarto do círculo:

A = 1 4 π 1 2 2 = π 16

Desta forma, aplicando a propriedade 11:

e - 1 4 π 16 ≤ ∬ e - x 2 + y 2   d A ≤ π 16

Fazendo as contas em uma calculadora:

0,1844 ≤ ∬ e - x 2 + y 2   d A ≤ 0,1964

Essa é a estimativa que conseguimos achar usando a propriedade!

Resposta

0,1844 ≤ ∬ e - x 2 + y 2   d A ≤ 0,1964

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