Enunciado

O gráfico mostra a influência da temperatura T sobre a velocidade máxima de nado S do salmão Coho.

  1. Qual o significado da derivada S ' ( T ) ? Quais são suas unidades?
  2. Dê uma estimativa do valor S ’ ( 15 ) e de S ’ ( 25 ) e interprete-os.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um gráfico da relação entre velocidade máxima de nado S do salmão Coho e a temperatura T da água. E aí ele nos pediu pra determinar o significado da derivada S ' ( T ) , suas unidades e o valor dessa derivada nos pontos T = 15 e T = 25   ° C .

Pra isso, precisamos lembra do significado de derivada e de como podemos apróximá-la com base em dados e gráficos, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

A derivada sempre representa uma taxa de variação instantânea, relacionado duas grandezas – no nosso caso, a velocidade máxima de nado do salmão e a temperatura da água.

Então, analisando as grandezas S e T , podemos concluir que S ' ( T ) irá representar a taxa máxima de variação da velocidade que o peixe pode atingir quando a água está a uma determinada temperatura, tranquilo?

A unidade da derivada será a unidade de S dividida pela unidade de T ,   ou seja, ( c m / s ) / ℃ .

Passo 3

Agora para calcular as estimativas das derivadas, nesse caso, temos que estimar pontos. Como o gráfico não nos dá os pontos da curva de forma precisa e nem a função que descreve a curva, o melhor que podemos fazer e verificar com uma régua ou no olhômetro mesmo pontos que nos ajudem a fazer os cálculos, beleza?

Para o caso de S ' ( 15 ) , aparentemente, quando temo um T = 15 ℃ , o nosso S fica em torno de 30   c m / s , logo, temos o ponto ( 15 ,   30 ) . Podemos também pegar o ponto ( 10 ,   25 ) e, com esses dois, aproximar uma derivada para S ' 15 desse jeito aqui:

S ' 15 ≈ ∆ S ∆ T = 30 - 25 15 - 10

S ' 15 = 5 5

S ' 15 = 1   ( c m / s ) / ℃

Logo, perto de uma temperatura de 15 ℃ , a máxima velocidade do salmão muda a uma taxa de maaais ou meeenos 1   ( c m / s ) / ℃ , beleza?

Para o S ' ( 25 ) , podemos pegar também o ponto ( 20 ,   35 ) (aproximado) e o ponto ( 25,25 ) (também aproximado). Dessa forma:

S ' 25 ≈ ∆ S ∆ T = 25 - 35 25 - 20

S ' 25 = - 10 5

S ' 25 = - 2   ( c m / s ) / ℃

Nesse caso, a velocidade máxima do nosso salmão vai diminuindo: em torno de 25 ℃ , essa diminuição está a uma taxa de 2   ( c m / s ) / ℃ !

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. S ' ( T ) irá representar a taxa máxima de velocidade que o peixe pode atingir quando a água está a uma determinada temperatura e sua unidade será ( c m / s ) / ℃ .
  2. S ' 15 ≈ 1   ( c m / s ) / ℃ e S ' 25 ≈ - 2   ( c m / s ) / ℃ .
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