Enunciado

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

f x = 1 2 x + 1 3

Passo 1

E aí pessoal, prontos para praticar a definição de derivada?

A ideia aqui será encontrar a derivada da função f x = 1 2 x + 1 3 usando a definição de derivada. Além disso, queremos determinar os domínios da função original e da sua derivada. Saca só como faremos isso passo a passo!

Vamos começar lembrando que a derivada de uma função f x em um ponto x é definida como o limite do quociente incremental conforme o intervalo tende a zero:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Para a nossa função, vamos calcular a derivada usando essa definição. Termos que substituir x = x + h , teremos:

1 2 ( x + h ) + 1 3

Aplicando x + h   na função f x :

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 2 x + h + 1 3 - 1 2 x + 1 3 h

Fazendo as multiplicações e o devido jogo de sinal, temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 2 x + 1 2 h + 1 3 - 1 2 x - 1 3 h

Podemos cancelar 1 2 x com - 1 2 x e também 1 3 com - 1 3 , simplificando:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 2 h h

Ta quase resolvido o limite! Vamos cancelar o h do numerador com o do denominador:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 2

Como o limite de qualquer constante é uma constante (fica atento nas propriedades de limite!), então teremos que:

f ' x = 1 2

Passo 2

Agora, devemos analisar quem são os domínios da função e de sua derivada. Como f é uma função polinomial, logo não existem valores de x para os quais a expressão se torne indefinida, podemos afirmar de cara que seu domínio é o conjunto dos números reais R . Isso acontece com qualquer função polinomial, sempre!

A mesma coisa acontece com a função constante – seu domínio é R . Logo, teremos que os domínios de f e f ' são iguais e iguais à R .

d o m í n i o   f x = R

Prontinho, finalizamos!

Resposta

f ' x = 1 2

f e f ' tem o mesmo domínio, sendo este domínio o conjunto dos números reais R .

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Calcule f^' (x) onde f (x) é igual asqrt(x) sec x
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual ax^2 + 3 x tg x
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a(x + 1)/(x sen x)
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a(cos x)/(x^2 + 1)
Seja f x = x 3 + 3 x .Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 .Estude o sinal de f ' x .Esboce o gráfico de f .