7. Calcule

c ) ∫ ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) 2 d x

Passo 1

Primeiro, precisamos fazer a distributiva agora, sendo da forma a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

∫ ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) 2 d x =   ∫ sin 2 ⁡ x + 2 sin ⁡ x cos ⁡ x +   cos 2 ⁡ x   d x =  

∫ sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x + 2 sin ⁡ x cos ⁡ x     d x

Passo 2

Sabemos que pela identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 . Então vamos substituir,

∫ sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x + 2 sin ⁡ x cos ⁡ x   d x =   ∫ 1 + 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x

Vamos usar, também, a identidade trigonométrica sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x .

∫ 1 + 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x =   ∫ 1 + sin ⁡ 2 x d x  

Passo 3

Precisamos lembrar que,   ∫ c   d x = c x + k   e ∫ sin ⁡ α x   d x =   - 1 α cos ⁡ α x + k . Sendo c ,   a e k constantes.

∫ 1 + sin ⁡ 2 x d x   =   x - 1 2 cos ⁡ 2 x + k

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração

∫ 0 π 2 ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) 2 d x = π 2 - 1 2 cos ⁡ 2 π 2   - 0 - 1 2 cos ⁡ 0   = π 2 - - 1 2 + 1 2 = π 2 + 1

Resposta

Portanto, temos que

∫ 0 π 2 ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) 2 d x = π 2 + 1

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