Enunciado

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Nos Exercícios 51-54, use uma integral definida para determinar a área da região entre a curva dada e o eixo x no intervalo [ 0 ,   b ] .

52. y = π x ²

Passo 1

De início, o que precisamos fazer é dividir a área dessa curva utilizando reatângulos de mesma largura. Utiliza-se esse método porque retângulos apresentam uma geometria simples e que, por consequência, facilita bastante o cálculo da área. Sendo assim, temos que a largura dos retângulos, assim como discutido na seção 3 do George, é:

∆ x = b - a n

Como os intervalos são de [ 0 ,   b ] , logo:

∆ x = b - 0 n = b n

Passo 2

Como os retângulos possuem mesma largura, teremos o seguinte:

x 0 = 0

x 1 = ∆ x

x 2 = 2 ∆ x

x n = n ∆ x = b

Ademais, temos:

c 1 = x 1 ,   c 2 = x 2 …   c n = x n

Sabemos que a área de um retângulo é dada pela multiplicação entre sua base e sua altura, certo? Sendo assim, sabendo que a altura é determinada pela função que nos foi dada e que a largura é a mesma para todos os retângulos, assim como discutido no passo 1, basta encontrarmos uma expressão geral para a área desse retângulo para depois aplicarmos na soma de Riemann, beleza? Só parece difícil, mas prometo que não é. Se liga!

Passo 3

Se fizermos as áreas de cada retângulo, teremos:

Para a área do primeiro, segundo e, por fim, enésimo retângulo, respectivamente, teremos:

f c 1 . ∆ x = f ∆ x . ∆ x = π . ∆ x 2 . ∆ x = π ( ∆ x ) ³

f c 2 . ∆ x = f 2 ∆ x . ∆ x = π . 2 ∆ x 2 . ∆ x = π . 2 2 . ( ∆ x ) ³

f c n . ∆ x = f n ∆ x . ∆ x = π . n ∆ x 2 . ∆ x = π . n 2 . ( ∆ x ) ³

Agora que já chegamos em uma equação genérica para o cálculo da área do enésimo retângulo, basta fazermos a substituição dos valores encontrados na famosa Soma de Riemann, que é a seguinte:

S n = ∑ k = 1 n f c k . ∆ x

Passo 4

Bom, mas o que seria f c k . ∆ x ? Se f c n . ∆ x = π . n 2 . ( ∆ x ) ³ , então teremos que:

f c k . ∆ x = π . k 2 . ( ∆ x ) ³

Substituindo na Soma de Riemann, teremos:

S n = ∑ k = 1 n π . k 2 . ( ∆ x ) ³

Como a somatória está em função de k , então:

S n = π . ( ∆ x ) ³ ∑ k = 1 n k 2

A somatória dos quadrados dos n primeiros números naturais positivos é:

S = n . n + 1 . ( 2 n + 1 ) 6

Substituindo na somatória, teremos:

S n = π . b n 3 . n . n + 1 . 2 n + 1 6

Se fizermos as distributivas certinho, teremos:

S n = π b 3 6 . 2 + 3 n + 1 n 2

lim n → ∞ ⁡ π b 3 6 . 2 + 3 n + 1 n 2 = π b 3 3

∴ ∫ 0 b π x ² d x = π b 3 3

Resposta

∫ 0 b π x ² d x = π b 3 3

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