Enunciado

(Continuação do exercício 73.) Use a desigualdade max-min e determine um limitante superior e um limitante inferior para:

∫ 0 0,5 1 1 + x ² d x   e   ∫ 0,5 1 1 1 + x ² d x

Some esses limitantes para chegar a uma estimativa mais precisa de:

∫ 0 1 1 1 + x ² d x

Passo 1

Para a primeira integral, temos que os intervalos de integração são [ 0 ,   0,5 ], certo? Sendo assim, o valor máximo ocorre quando:

f 0 = 1

E o valor mínimo ocorre quando:

f 0,5 = 0,8

Passo 2

Agora que já determinamos os valores máximos e mínimos do valor da integral, basta utilizarmos a desigualdade discutida na seção 3 do George. Se liga:

min ⁡ f ∙ ( b - a ) ≤ ∫ 0 0,5 1 1 + x ² d x ≤ max ⁡ f ∙ ( b - a )

Substituindo os valores encontrados, teremos:

0,8 . 1 - 1 2 ≤ ∫ 0 0,5 1 1 + x 2 d x ≤ 1 . 1 - 1 2

Sendo assim, temos um limite inferior de 2 5 e um limite superior de 1 2 .

Passo 3

Para a primeira integral, temos que os intervalos de integração são [ 0 , 5 ,   1 ], certo? Sendo assim, o valor máximo ocorre quando:

f 0,5 = 0,8

E o valor mínimo ocorre quando:

f 1 = 0,5

Passo 4

Agora que já determinamos os valores máximos e mínimos do valor da integral, basta utilizarmos a desigualdade discutida na seção 3 do George. Se liga:

min ⁡ f ∙ ( b - a ) ≤ ∫ 0 , 5 1 1 1 + x ² d x ≤ max ⁡ f ∙ ( b - a )

Substituindo os valores encontrados, teremos:

0,5 . 1 - 1 2 ≤ ∫ 0,5 1 1 1 + x 2 ≤ 0,8 . 1 - 1 2

Sendo assim, temos um limite inferior de 1 4 e um limite superior de 2 5 .

Passo 5

Por fim, somando os limites, teremos o seguinte:

2 5 + 1 4 ≤ ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x ≤ 1 2 + 2 5

13 20 ≤ ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x ≤ 9 10

Dessa forma, a soma dos limites inferiores e superiores para uma estimativa mais confiável das integrais são, respectivamente, 13 20 e 9 20 .

Resposta

13 20 ≤ ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x ≤ 9 10

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais. 2 π 24 ≤ ∫ π 6 π 4 cos ⁡ xd x ≤ 3 π 24
Demonstre a propriedade 6 das integrais.
Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral. ∫ 1 4 xd x
Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral. ∫ π 2 π x - 2 sen ⁡ x   d x
Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral. ∫ 0 2 1 1 + x 2   d x