Enunciado

Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas nos Exercícios 63-70.

70. ∫ 0 1 ( 3 x - x 3 ) d x

Passo 1

Então pessoal, para estimarmos o valor dessa integral definida como um limite de uma soma de Riemann, precisamos, assim como discutido na seção 3 do George, definir partições P que subdividem o intervalo [ a ,   b ] em n subintervalos de largura igual a:

∆ x = b - a n

∆ x = 1 - 0 n = 1 n

Se fizermos as partições, teremos:

P = 0 ,   1 n ,   2 n ,   … ,   n n

Sendo assim, temos:

c k = k n

Passo 2

Agora que já descobrimos as partições e o valor de c k , basta substituirmos na soma de Riemann, que é a seguinte:

S n = ∑ k = 1 n f c k . ∆ x

Substituindo os valores encontrados, teremos:

S n = ∑ k = 1 n 3 k n - k n 3 . 1 n

S n = 1 n ∑ k = 1 n 3 k n - 1 n ∑ k = 1 n k ³ n ³

A somatória dos n primeiros números naturais positivos é:

S = n . ( n + 1 ) 2

Ademais, a somatória dos cubos dos n primeiros números naturais positivos é:

S = n . n + 2 2

Substituindo na somatória, teremos:

S n = 3 n ² . n . ( n + 1 ) 2 - 1 n 4 . n . n + 2 2

S n = 3 2 . n + 1 n - 1 4 . n + 1 2 n 2

Passo 3

Agora que determinamos o valor da somatória, temos que à medida que n → ∞ e P → 0 , a expressão da somatória tem o seguinte limite:

S n = 3 2 . 1 + 1 n 1 - 1 4 . 1 + 2 n + 1 n 2 1

S n = 3 2 - 1 4 = 5 4

∴ ∫ 0 1 ( 3 x - x 3 ) d x = 5 4

Resposta

∫ 0 1 ( 3 x - x 3 ) d x = 5 4

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