13. a) Determine alpha e beta de modo que

sen(3x) sen(2x) = -1/2 (cos(alphax - cos(betax))

Passo 1

Antes de tudo, vamos usar a identidade trigonométrica sin ⁡ a sin ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a - b - cos ⁡ ( a + b ) . Substituindo,

sin ⁡ 3 x sin ⁡ 2 x =   1 2 cos ⁡ 3 x - 2 x - cos ⁡ ( 3 x + 2 x ) = 1 2 cos ⁡ x - cos ⁡ 5 x

Passo 2

Agora, vamos pôr esse valor que encontramos na primeira equação

sin ⁡ 3 x sin ⁡ 2 x = 1 2 cos ⁡ x - cos ⁡ 5 x = -   1 2 ( cos ⁡ α x - cos ⁡ β x ) = 1 2 ( cos ⁡ β x - cos ⁡ α x )

Ou seja,

1 2 cos ⁡ x - cos ⁡ 5 x = 1 2 ( cos ⁡ β x - cos ⁡ α x )

Para satisfazer essa igualdade teremos o seguinte sistema

x = β x   ⇒ β = 1 5 x = α x ⇒ α = 5

Passo 3

Substituindo α e β , temos

sin ⁡ 3 x sin ⁡ 2 x = 1 2 ( cos ⁡ x - cos ⁡ 5 x ) = - 1 2 ( cos ⁡ 5 x - cos ⁡ x )

Passo 4

b) Calcule ∫ sin ⁡ 3 x sin ⁡ 2 x   d x

Passo 5

Utilizaremos o valor encontrado antes, substituindo na integral

∫ sin ⁡ 3 x sin ⁡ 2 x   d x =   ∫ - 1 2 ( cos ⁡ 5 x - cos ⁡ x ) d x  

Lembrando que ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k . Assim,

∫ - 1 2 ( cos ⁡ 5 x - cos ⁡ x ) d x   =   - 1 2 1 5 sin ⁡ 5 x - sin ⁡ x + k =   - 1 10 sin ⁡ 5 x + 1 2 sin ⁡ x + k

Resposta

∫ sin ⁡ 3 x sin ⁡ 2 x   d x =   - 1 10 sin ⁡ 5 x + 1 2 sin ⁡ x + k

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