12. Calcule

c ) ∫ sin ⁡ x cos ⁡ 3 x   d x

Passo 1

Usaremos a identidade trigonométrica sin ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 sin ⁡ a + b   + sin ⁡ ( a - b )

∫ sin ⁡ x cos ⁡ 3 x   d x =     ∫ 1 2 sin ⁡ x + 3 x   + sin ⁡ ( x - 3 x ) = 1 2 ∫ ( sin ⁡ 4 x + sin ⁡ - 2 x ) d x

Passo 2

Devemos lembrar que ∫ sin ⁡ α x   d x =   - 1 α cos ⁡ α x + k , sendo   α e k constantes. Assim,

1 2 ∫ ( sin ⁡ 4 x + sin ⁡ - 2 x ) d x = 1 2 - 1 4 cos ⁡ 4 x - 1 ( - 2 ) cos ⁡ - 2 x + k

=   - 1 8 cos ⁡ 4 x + 1 4 cos ⁡ - 2 x + k

Como seno é uma função par, cos ⁡ - 2 x = cos ⁡ 2 x . Então,

- 1 8 cos ⁡ 4 x + 1 4 cos ⁡ - 2 x + k =   - 1 8 cos ⁡ 4 x + 1 4 cos ⁡ 2 x + k

Resposta

Portanto, o resultado dessa integral é

∫ sin ⁡ x cos ⁡ 3 x   d x =   - 1 8 cos ⁡ 4 x + 1 4 cos ⁡ 2 x + k  

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