11. a) Determine alpha e beta de modo que

sen(6x \* cos(x)) = 1/2(sen(alfa \* x + sen(beta \* x)))

Passo 1

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica sin ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 sin ⁡ a + b   + sin ⁡ ( a - b ) . Substituindo,

sin ⁡ 6 x cos ⁡ x =   1 2 sin ⁡ 6 x + x   + sin ⁡ ( 6 x - x ) = 1 2 sin ⁡ 7 x   + sin ⁡ 5 x

Passo 2

Agora, vamos pôr esse valor que encontramos na primeira equação

sin ⁡ 6 x cos ⁡ x = 1 2 sin ⁡ 7 x   + sin ⁡ 5 x =   1 2 ( sin ⁡ α x + sin ⁡ β x )

Para satisfazer essa igualdade teremos o seguinte sistema

7 x = α x   ⇒ α = 7 5 x = β x ⇒ β = 5

Passo 3

Substituindo α e β , temos

sin ⁡ 6 x cos ⁡ x = 1 2 ( sin ⁡ 7 x + sin ⁡ 5 x )

Passo 4

b) Calcule ∫ sin ⁡ 6 x cos ⁡ x   d x

Passo 5

Utilizaremos o valor encontrado antes, substituindo na integral

∫ sin ⁡ 6 x cos ⁡ x   d x =   ∫ 1 2 ( sin ⁡ 7 x + sin ⁡ 5 x ) d x =   1 2 ∫ ( sin ⁡ 7 x + sin ⁡ 5 x ) d x

Lembrando que ∫ sin ⁡ α x   d x =   - 1 α cos ⁡ α x + k . Assim,

1 2 ∫ ( sin ⁡ 7 x + sin ⁡ 5 x ) d x = 1 2 - 1 7 cos ⁡ 7 x - 1 5 cos ⁡ 5 x + k =   - 1 14 cos ⁡ 7 x - 1 10 cos ⁡ 5 x + k

Resposta

∫ sin ⁡ 6 x cos ⁡ x   d x = - 1 14 cos ⁡ 7 x - 1 10 cos ⁡ 5 x + k

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