Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 5.2 - Ex. 27

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desse livro

Calcule a soma

∑ k = 1 5 k 3 225 + ∑ k = 1 5 k 3

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Vamos começar por organizar o nosso somatório. Utilizando a regra de multiplicação de uma constante, temos:

∑ k = 1 5 k 3 225 + ∑ k = 1 5 k 3 = 1 225 ⋅ ∑ k = 1 5 k 3 + ∑ k = 1 5 k 3

Todas as possíveis mudanças já foram feitas, temos que calcular agora ∑ k = 1 5 k 3 e ∑ k = 1 5 k através das relações discutidas durante a seção.

Passo 3

Na seção do livro vimos que a soma dos n primeiros números inteiros é dado por:

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2

Portanto, para n = 5 , temos:

∑ k = 1 5 k = 5 ( 5 + 1 ) 2 = 15

Passo 4

Já a soma dos primeiros n cubos, a relação é:

∑ k = 1 n k 3 = n n + 1 2 2

Portanto, temos:

∑ k = 1 5 k 3 = 5 5 + 1 2 2 = 15 2 = 225

Passo 5

Agora, basta substituirmos os valores descobertos nos Passos 3 e 4 na relação descrita no Passo 2. Sendo assim, o somatório é igual a:

∑ k = 1 5 k 3 225 + ∑ k = 1 5 k 3 = 1 225 ⋅ 225 + 15 3 = 3376

Resposta

∑ k = 1 5 k 3 225 + ∑ k = 1 5 k 3 = 3376

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