Enunciado

Uma sequência de termos é definida por:

a_1 = 1 a_n = (5 - n) a_n - 1

Calcule sum_(n = 1)^(oo) a_n .

Passo 1

Então galera, já que o enunciado nos cede o valor do primeiro termo da sequência, então vamos ver quanto dá os próximos termos da sequência, isto é, vamos substituir n por 2 , 3 , 4 , 5 , ... e depois vamos analisar seu resultado, tudo bem? Nos foi dado que:

a_1 = 1

a_2 = (5 - 2) a_2 - 1 = 3.1 = 3

a_3 = (5 - 3) a_3 - 1 = 2.3 = 6

a_4 = (5 - 4) a_4 - 1 = 1.6 = 6

a_5 = (5 - 5) a_5 - 1 = 0

a_6 = (6 - 5) a_6 - 1 = 0

a_7 = (7 - 5) a_7 - 1 = 0

vdots

Pelos resultados conseguimos notar que a partir de n = 4 os termos restantes resultam em zero, não é mesmo? Sendo assim, nossa somatória fica:

sum_(n = 1)^(oo) a_n = sum_(n = 1)^4 (5 - n) a_n - 1

Como já calculamos os 4 primeiros termos da sequência, teremos:

sum_(n = 1)^4 (5 - n) a_n - 1 = 1 + 3 + 6 + 6 = 16

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) a_n = 16

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