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Calcule a soma

  1. ∑ k = 9 36 k

  2. ∑ k = 3 17 k 2

∑ k = 18 71 k ( k - 1 )

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Inicialmente precisamos mudar os valores do limite do somatório, pois começamos a contar a partir de k = 18 , e para aplicarmos as nossas regras, o valor de k deve ser igual a 1. Portanto, façamos um número i = k - 17 . Quando k = 18 , i = 1 . Já quando k = 71 , i = 54 . Portanto, escrevemos:

∑ k = 18 7 1 k ( k - 1 ) = ∑ i = 1 54 ( i + 17 ) ( i + 16 ) = ∑ i = 1 54 i 2 + 33 i + 272

∑ i = 1 54 i 2 + 33 i + 272 = ∑ i = 1 54 i 2 + ∑ i = 1 54 33 i + ∑ i = 1 54 272

Passo 3

Agora, utilizando a regra de multiplicação por uma constante para reduzir ao máximo os nossos somatórios, obtemos:

∑ i = 1 54 ( i + 17 ) ( i + 16 ) = ∑ i = 1 54 i 2 + 33 ⋅ ∑ i = 1 54 i + ∑ i = 1 54 272

Passo 4

Vamos calcular inicialmente a soma de uma constante. Sendo assim, temos a seguinte regra do valor constante:

∑ k = 1 n c = c ⋅ n

Portanto, para n = 54 e c = 272 , temos:

∑ i = 1 54 272 = 272 ⋅ 5 4 = 14688

Passo 5

Nos falta calcular a soma dos n primeiros números inteiros. Utilizamos então a seguinte relação:

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2

Portanto, para n = 5 4 , temos:

∑ i = 1 5 4 i = 54 ( 54 + 1 ) 2 = 1485

Passo 6

Já a soma dos primeiros n quadrados é dada pela seguinte relação:

∑ k = 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

Portanto, temos:

∑ i = 1 5 4 i 2 = 5 4 ( 5 4 + 1 ) ( 108 + 1 ) 6 = 53955

Passo 7

Agora, basta substituirmos os valores descobertos nos Passos 4, 5 e 6na relação descrita no Passo 3. Sendo assim, o somatório é igual a:

∑ i = 1 54 ( i + 17 ) ( i + 16 ) = ∑ i = 1 54 i 2 + 33 ⋅ ∑ i = 1 54 i + ∑ i = 1 54 272

∑ i = 1 54 ( i + 17 ) ( i + 16 ) = 53955 + 33 ⋅ 1485 + 14688 = 1 17 64 8

Resposta

∑ k = 18 71 k ( k - 1 ) = 117648

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Ache a soma dada ∑ i = - 2 3 2 i
Ache a soma dada ∑ i = 1 6 ( 3 i - 2 )
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Ache a soma dada ∑ i = 2 5 i   i - 1
Ache a soma dada ∑ i = 1 10 ( i 3 - 1 )
Ache a soma dada ∑ i = 1 7 ( i 2 + 1 )
Calcule a soma indicada, usando os Teoremas 5.4.2 até 5.4.7 ∑ k = 1 n ( 2 k - 2 k - 1 )