Enunciado

Utilize o resultado do Exercício 91 para mostrar que

1 + ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

diverge.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja a série a n =   1 ln ⁡ n para n ≥ 2

Daí, usando a e expressão a 2 + a 4 + a 8 + … , temos:

a 2 + a 4 + a 8 + … = 1 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡ 4 + 1 ln ⁡ 8 + …

Aplicando as propriedades de logaritmo:

a 2 + a 4 + a 8 + … = 1 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡ 2 2 + 1 ln ⁡ 2 3 + …

a 2 + a 4 + a 8 + … = 1 ln ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ 2 + 1 3 ln ⁡ 2 + …

a 2 + a 4 + a 8 + … = 1 ln ⁡ 2 1 + 1 2 + 1 3 + …

a 2 + a 4 + a 8 + … = 1 ln ⁡ 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n

A série ∑ n = 1 ∞ 1 n é uma p-série divergente pois p =   1 .

Do resultado do exercício 91, temos que a série

∑ n = 2 ∞ a n n =   ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

É divergente, portanto, 1 + ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n diverge.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que se sum_(n = 1)^(oo) a_n converge absolutamente, então|sum_(n = 1)^(oo) a_n| = sum_(n = 1)^(oo) | a_n |
Mostre que se tanto ∑ n = 1 ∞ a n quanto ∑ n = 1 ∞ b n convergem absolutamente, então isso também acontece com as séries a seguir. ∑ n = 1 ∞( a n + b n ) ∑ n = 1 ∞( a n - b n ) ∑ n = 1 ∞k a n ( q u a
Seja ∈ um número real positivo, seja L = ∑ n = 1 ∞ a n e seja s k = ∑ n = 1 k a n . Mostre que para algum índice N 1 e para algum índice N 2 ≥ N 1 , ∑ n = 1 k a n∈ 2 s N 2 - L∈ 2 Uma vez que todos os
Sob quais circunstâncias uma série infinita de termos não negativos convergirá? E sob quais circunstâncias divergirá? Por que estudar séries de termos não negativos?
Como se reindexa uma série? Por que você pode querer fazer isso?