Calcule a integral

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 e x   d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 e x   d x

Vamos obter inicialmente a primitiva da integral indefinida associada, a qual é:

∫ e x   d x = e x + k

A primitiva de uma função exponencial e x é a própria função exponencial. Observem que, como foi resolvido uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante k !

Passo 3

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 e x   d x = e x ln ⁡ 2 ln ⁡ 3

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 e x   d x = e ln ⁡ 3 - e ln ⁡ 2

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 e x   d x = 3 - 2 = 1

Resposta

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 e x   d x = 1

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