Enunciado

Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:

z = (x^2 + y^2) ln sqrt(x^2 + y^2) , x = e^t , y = e^(- t) .

Passo 1

Bom galera, vamos ter que usar a regra da cadeia, pra isso vamos precisar lembrar de uma formulinha, essa aqui:

(d z)/(d t) = (d z)/(d x) * (d x)/(d t) + (d z)/(d y) * (d y)/(d t)

Parece até meio complicadinha, mas vamos aplicar na prática que eu prometo que as coisas vão ficar mais claras. 😊

Só que antes disso vamos dar uma desenvolvida na nossa função:

z = (x^2 + y^2) ln sqrt(x^2 + y^2)

-> z = x^2 * ln sqrt(x^2 + y^2) + y^2 * ln sqrt(x^2 + y^2)

Passo 2

Belezinha, vamos aplicar a nossa função dentro da formula (Lembrando que quando a gente deriva em função de uma variável consideramos a outra constante):

(d z)/(d t) = (d ( x^2 * ln sqrt(x^2 + y^2) + y^2 * ln sqrt(x^2 + y^2) ))/(d x) * (d ( e^t ))/(d t) + (d (x^2 * ln sqrt(x^2 + y^2) + y^2 * ln sqrt(x^2 + y^2)))/(d y) * (d ( e^(- t) ))/(d t)

Passo 3

Agora vamos derivar separadamente as coisas:

(d (x^2 * ln sqrt(x^2 + y^2) + y^2 * ln sqrt(x^2 + y^2)))/(d x)

Usamos nisso a regra do produto e cadeia na parte do ln sqrt(x^2 + y^2) :

= [2 x * ln sqrt(x^2 + y^2) + x^2 * ((1)/(sqrt(x^2 + y^2)) * (x)/(sqrt(x^2 + y^2)))] + [y^2 * ((1)/(sqrt(x^2 + y^2)) * (x)/(sqrt(x^2 + y^2)))]

= [2 x * ln sqrt(x^2 + y^2) + x^2 * ((x)/(x^2 + y^2))] + [y^2 * ((x)/(x^2 + y^2))]

= 2 x * ln sqrt(x^2 + y^2) + ( x^2 + y^2 ) * ((x)/(x^2 + y^2))

= 2 x * ln sqrt(x^2 + y^2) + x

E se fizermos o mesmo derivando em função de y ficamos com:

(d (x^2 * ln sqrt(x^2 + y^2) + y^2 * ln sqrt(x^2 + y^2)))/(d y)

= 2 y * ln sqrt(x^2 + y^2) + y

As outras derivadas a gente pega a defição, assim:

(d (e^t))/(d t) = e^t

(d ( e^(- t) ))/(d t) = - e^(- t)

Passo 4

Por fim, substituimos o resultado do que derivamos e as váriaveis pelas funções de t :

(d z)/(d t) = (d ( x^2 * ln sqrt(x^2 + y^2) + y^2 * ln sqrt(x^2 + y^2) ))/(d x) * (d ( e^t ))/(d t) + (d (x^2 * ln sqrt(x^2 + y^2) + y^2 * ln sqrt(x^2 + y^2)))/(d y) * (d ( e^(- t) ))/(d t)

-> (d z)/(d t) = (2 x * ln sqrt(x^2 + y^2) + x) * e^t + (2 y * ln sqrt(x^2 + y^2) + y) * ( - e^(- t) )

-> (d z)/(d t) = e^t (2 x * ln sqrt(x^2 + y^2) + x) - (1)/(e^t) (2 y * ln sqrt(x^2 + y^2) + y)

Então substituimos as variáveis:

(d z)/(d t) = e^t (2 x * ln sqrt(x^2 + y^2) + x) - (1)/(e^t) (2 y * ln sqrt(x^2 + y^2) + y)

-> (d z)/(d t) = e^t (2 (e^t) * ln sqrt((e^t)^2 + (e^(- t))^2) + (e^t)) - (1)/(e^t) (2 (e^(- t)) * ln sqrt((e^t)^2 + (e^(- t))^2) + (e^(- t)))

-> (d z)/(d t) = e^t ((e^t) * 2 ln sqrt((e^t)^2 + (e^(- t))^2) + (e^t)) - (1)/(e^t) ((e^(- t)) * 2 ln sqrt((e^t)^2 + (e^(- t))^2) + (e^(- t)))

-> (d z)/(d t) = e^t (e^t * ln (e^(2 t) + e^(- 2 t)) + e^t) - e^(- t) (e^(- t) * ln (e^(2 t) + e^(- 2 t)) + e^(- t))

-> (d z)/(d t) = (e^(2 t) * ln (e^(2 t) + e^(- 2 t)) + e^(2 t)) - (e^(- 2 t) * ln (e^(2 t) + e^(- 2 t)) + e^(- 2 t))

-> (d z)/(d t) = e^(2 t) (ln (e^(2 t) + e^(- 2 t)) + 1) - e^(- 2 t) (ln (e^(2 t) + e^(- 2 t)) + 1)

Ufaa, protinho, eu sei que deu trabalho mas nem é tão dificil quanto parece. 😊

Resposta

(d z)/(d t) = e^(2 t) (ln (e^(2 t) + e^(- 2 t)) + 1) - e^(- 2 t) (ln (e^(2 t) + e^(- 2 t)) + 1)

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