Enunciado

Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.

∂ w ∂ s para w = g x ,   y , x = h r ,   s ,   t , y = k r ,   s ,   t

Passo 1

Oi galerinha, tudo bem com vocês? Antes de iniciarmos este exercício, vamos relembrar a Regra da Cadeia de uma variável independente e duas variáveis intermediárias.

Se w = f x ,   y é diferenciável e se x = x t , y = y t forem funções deriváveis de t , então a composta w = f x t ,   y t será uma função derivável de t :

d w d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

O diagrama de árvore na margem propõe uma maneira conveniente de se lembrar da regra da cadeia. A “verdadeira” variável independente na função composta é t , enquanto x e y são variáveis intermediárias (controladas por t ) e z é a variável dependente.

De acordo com o enunciado, temos os seguintes dados:

Passo 2

Apesar de serem três variáveis independentes, queremos apenas para ∂ w / ∂ s

Então a fórmula para a Regra da Cadeia:

∂ w ∂ s = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ s

Resposta

∂ w ∂ s = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ s

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra da cadeia para achar d z // d t .z = x^2 + y^2 + x y , x = s e n t e y = e^t
Use a regra da cadeia para achar d z // d t .z = sqrt(1 + x^2 + y^2) , x = ln t e y = cos t
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar (d z)/(d t) ou (d w)/(d t) .3. z = s e n x . cos y , x = sqrt(t) , y = (1)/(t)
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar (d z)/(d t) ou (d w)/(d t) .1. z = x y^3 - x^2 y , x = t^2 + 1 , y = t^2 - 1
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar (d z)/(d t) ou (d w)/(d t) .4. z = sqrt(1 + x y) , x = tan t , y = a r c tan t