Sabendo que sen x = 15 / 17, sen y = -3 / 5, 0 < x < pi / 2 e pi < y < (3pi) / 2 , calcule sen(x + y), cos(x + y) e tg(x + y)

Passo 1

De início, como temos o seno de x e de y, vamos calcular o cosseno e posteriormente a tangente de x e de y, afim de usar as fórmulas do seno, cosseno e tangente da soma.Usando a relação fundamental da trigonometria: s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x cos ⁡ x   =   1 - s e n 2 x Substituindo s e n   x = 15 17 : cos ⁡ x   =   1 - 15 17 2 = 64 289 = 8 17 ,   t o m a m o s   a   r a í z   p o s i t i v a   p e l a   r e s t r i ç ã o   0 < x < π 2 Substituindo s e n   y =   - 3 5 :

cos ⁡ y =   1 - - 3 5 2 = 16 25 = 4 5 ,   t o m a m o s   a   r a í z   n e g a t i v a   p e l a   r e s t r i ç ã o   π < y < 3 π 2

Para o próximo passo vamos usar cos ⁡ x = 8 17 e cos ⁡ y = - 4 5 . agora para calcular a tangente, vamos utilizar a expressão:

t g   x = s e n   x cos ⁡ x   Utilizando os dados de x, temos: t g   x = 15 17 8 17 = 15 8 Utilizando os dados de y, temos: t g   y = - 3 5 - 4 5 = 3 4

Passo 2

Primeiro vamos calcular s e n x + y . Para isso vamos utilizar a fórmula da soma de senos:

s e n a + b = s e n   a ∙ cos ⁡ b + s e n   b ∙ cos ⁡ a

Logo:

s e n   x + y = s e n   x ∙ cos ⁡ y + s e n   y ∙ cos ⁡ x

Substituindo os valores que encontramos no passo anterior ficaremos com: s e n   x + y = 15 17 ∙ - 4 5 + - 3 5 ∙ 8 17 = - 60 85 - 24 85 = - 84 85

Passo 3

Agora vamos calcular cos ⁡ ( x + y ) . Para isso vamos utilizar a fórmula do cosseno da soma: c o s   a +   b =   c o s   a   ∙ c o s   b -   s e n   a ∙   s e n   b

Logo: c o s   x +   y =   c o s   x   ∙ c o s   y -   s e n   x ∙   s e n   y

Substituindo os valores que encontramos no primeiro passo ficaremos com: cos ⁡ ( x + y ) = 8 17 ∙ - 4 5 - 15 17 ∙ - 3 5 = - 32 85 + 45 85 = 13 85

Passo 4

Finalmente, vamos calcular t g   ( x + y ) , utilizando a fórmula da tangente da soma:

t g   a + b = t g   a + t g   b 1 - t g   a   ∙ t g   b

Logo: t g   x +   y =   t g   x + t g   y 1 - t g   x   ∙ t g   y

Substituindo os valores que encontramos no primeiro passo ficaremos com: t g   x +   y =   15 8 + 3 4 1 - 15 8   ∙ 3 4 = 21 8 - 13 32 = - 84 13

Resposta

s e n   x + y = - 84 85 , cos ⁡ x + y = 13 85   e   t g   x + y = - 84 13

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