Enunciado

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )   d s

C : x = t ,   y = cos ⁡ 2 t ,   z = sen ⁡ 2 t ,     0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 2

Nesse exercício podemos aplicar diretamente a fórmula 9 vista nessa seção, só precisamos calcular o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

d x d t = 1

d y d t = - 2 sen ⁡ 2 t

d z d t = 2 cos ⁡ 2 t

Agora, substituindo o valor das expressões na fórmula 9, temos:

∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )   d s = ∫ 0 2 π ( t 2 + cos 2 ⁡ 2 t + s e n 2   2 t ) 1 2 + 2 sen ⁡ 2 t 2 + 2 cos ⁡ 2 t 2 d t

∫ 0 2 π ( t 2 + cos 2 ⁡ 2 t + sen 2 ⁡ 2 t ) 1 + 4 ( s e n 2   2 t + c o s 2   2 t )   d t

Da relação fundamental da trigonometria s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , podemos então simplificar a expressão anterior:

5 ∫ 0 2 π ( t 2 + 1 )   d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

5 1 3 t 3 + t 0 2 π = 5 1 3 2 π 3 + ( 2 π ) - 0 = 5 8 3 π 3 + 2 π

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )   d s = 5 8 3 π 3 + 2 π

Resposta

∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )   d s = 5 8 3 π 3 + 2 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.