Enunciado

Use coordenadas esféricas.

Passo 1

  1. Encontre o centróide do sólido do Exemplo 4 (assuma densidade constante K )
  2. Olhando o sólido do Exemplo 4, podemos facilitar nossa vida ao perceber que a superfície é simétrica co relação aos eixos x e y , e, dessa forma, temos:

    M_y z = M_x z = 0

    Temos que a massa do sólido é dada por:

    m = int int int K d V

    Como K é constante, podemos tira-la para fora da integral, ficanco com:

    m = K int int int d V

    E, o próprio Exemplo 4 já nos fornece o valor da integral do volume do sólido, que é pi // 8 , então, substituindo esse valor na equação da massa, temos:

    m = (pi)/(8) K

    Passo 2

    Agora devemos calcular o momento de massa com relação ao eixo z do sólido, para isso, fazemos:

    M_x y = int int int_E^() z K d V

    Através dos limites de integração fornecidos no exemplo 4, podemos reescrever a integral como:

    M_x y = K int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) int_0^(cos varphi) (rho cos varphi) rho^2 s e n varphi d rho d varphi d theta

    = K int_0^(2 pi) int_0^(pi // 4) int_0^(cos varphi) rho^3 cos varphi s e n varphi d rho d varphi d theta

    Resolveremos essa integral de maneira iterada, começando por rho , temos:

    M_x y = K int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) s e n varphi c o s varphi [(1)/(4) rho^4]_(rho = 0)^(rho = cos varphi) d varphi d theta

    = K int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) s e n varphi c o s varphi {[(1)/(4) cos^4 varphi] - [0]} d varphi d theta

    Simplificando, obtemos:

    M_x y = (1)/(4) K int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) s e n varphi cos^5 varphi d varphi d theta

    Agora, separando as integrais em função de suas variáveis, podemos escrever:

    M_x y = (1)/(4) K int_0^(2 pi) d theta int_0^(pi // 4) s e n varphi cos^5 varphi d varphi

    Antes de resolver a integral, devemos notar que, para varphi , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:

    int cos^x theta s e n theta

    São resolvidas por substituição, fazendo u = c o s theta -> d u = - s e n theta e a integral se torna:

    int - u^x d u = - (u^(x + 1))/(x + 1) = - (cos^x theta)/(x + 1)

    Nesse caso, temos x = 5 , então, resolvendo a integral em varphi , temos:

    int_0^(pi // 4) s e n varphi cos^5 varphi d varphi = [- (1)/(6) cos^6 varphi]_0^(pi // 4)

    Resolvendo para as duas variáveis simultaneamente, temos:

    M_x y = (1)/(4) K [theta]_0^(2 pi) [- (1)/(6) cos^6 varphi]_0^(pi // 4)

    M_x y = (1)/(4) K (2 pi - 0) {[- (1)/(6) ((sqrt(2))/(2))^6] - [- (1)/(6) (1)^6]}

    M_x y = (1)/(2) K pi ((7)/(48)) -> M_x y = (7 pi)/(96) K

    Dessa forma, o centróide é dado por:

    (overset(-)(x) , overset(-)(y) , overset(-)(z)) = ((M_y z)/(m) , (M_x z)/(m) , (M_x y)/(m)) = ( (0)/((pi)/(8) K) , (0)/((pi)/(8) K) , ((7 pi K)/(96))/((pi)/(8) K) )

    (overset(-)(x) , overset(-)(y) , overset(-)(z)) = (0,0 , (7)/(12))

    Passo 3

  3. Encontre o momento de inércia ao redor do eixo z para esse sólido.

Nós sabemos que o momento de inércia ao redor do eixo z será dado por:

I_z = int int int_E^() (x^2 + y^2) K d V

Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

x = rho s e n varphi cos theta , y = rho s e n varphi s e n theta , z = rho cos varphi , x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

Substituindo as relações de transformação na equação anterior e aplicando os intervalos de integração vistos no exemplo 4, temos:

I_z = K int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) int_0^(cos varphi) [(rho s e n varphi cos theta)^2 + (rho s e n varphi s e n theta)^2] rho^2 s e n varphi d rho d varphi d theta

I_z = K int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) int_0^(cos varphi) [rho^2 s e n^2 varphi cos^2 theta + rho^2 s e n^2 varphi s e n^2 theta] rho^2 s e n varphi d rho d varphi d theta

Da relação fundamental da trigonometria, temos s e n^2 x + cos^2 x = 1 , e podemos simplificar a integral para:

I_z = K int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) int_0^(cos varphi) rho^4 s e n^3 varphi d rho d varphi d theta

Resolvendo essa integral de maneira iterada começando por rho , temos:

= K int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) s e n^3 varphi [(1)/(5) rho^5]_(rho = 0)^(rho = cos varphi) d varphi d theta

= K int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) s e n^3 varphi {[(1)/(5) cos^5 varphi] - [0]} d varphi d theta

Simplificando, obtemos:

I_z = (1)/(5) K int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) s e n^3 varphi cos^5 varphi d varphi d theta

Agora iremos usar a relação trigonométrica s e n^2 x = ( 1 - cos^2 x ) para reescrever a integral acima:

I_z = (1)/(5) K int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) s e n varphi ( 1 - cos^2 varphi ) cos^5 varphi d varphi d theta

E, simplificando, temos:

I_z = (1)/(5) K int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) s e n varphi cos^5 varphi - s e n varphi cos^7 varphi d varphi d theta

Agora, separando as integrais em função de suas variáveis, podemos escrever:

I_z = (1)/(5) K int_0^(2 pi) d theta int_0^(pi // 4) s e n varphi cos^5 varphi - s e n varphi cos^7 varphi d varphi

Antes de resolver a integral, devemos notar que, para varphi , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:

int cos^x theta s e n theta

São resolvidas por substituição, fazendo u = c o s theta -> d u = - s e n theta e a integral se torna:

int - u^x d u = - (u^(x + 1))/(x + 1) = - (cos^x theta)/(x + 1)

Nesse caso, temos x = 5 e x = 7 , então, resolvendo a integral em varphi , temos:

int_0^(pi // 4) s e n varphi cos^5 varphi + s e n varphi cos^7 varphi d varphi = [- (1)/(6) cos^6 varphi + (1)/(8) cos^8 varphi]_0^(pi // 4)

Resolvendo para as duas variáveis simultaneamente, temos:

I_z = (1)/(5) K [theta]_0^(2 pi) [- (1)/(6) cos^6 varphi + (1)/(8) cos^8 varphi]_0^(pi // 4)

I_z = (1)/(5) K (2 pi - 0) {[- (1)/(6) ((sqrt(2))/(2))^6 + (1)/(8) ((sqrt(2))/(2))^8] - [- (1)/(6) (1)^6 + (1)/(8) (1)^8]}

I_z = (1)/(5) K 2 pi ((11)/(384)) -> I_z = (11 pi)/(960) K

Resposta

(overset(-)(x) , overset(-)(y) , overset(-)(z)) = (0,0 , (7)/(12))

I_z = (11 pi)/(960) K

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