Enunciado

A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre uma partícula carregada em um ponto x , y , z com vetor posição r → = x , y , z é F → r → = K r → / r → 3 , onde K é uma constante (veja o Exemplo 5   da seção 16.1 ). Determine o trabalho realizado quando a partícula se move sobre o segmento de reta de ( 2,0 , 0 ) a ( 2,1 , 5 )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Primeiro vamos parametrizar o caminho C . Uma parametrização possível é:

x = 2 ,     y = t ,     z = 5 t ,   0 ≤ t ≤ 1

Pois assim temos que em t = 0 temos o ponto ( 2 , 0,0 ) e com t = 1 temos ( 2,1 , 5 ) . E assim o vetor r → fica:

r → = 2 i → + t j → + 5 t k →

E o valor de r → 3 é:

r → 3 = 2 2 + t 2 + 5 t 2 3 / 2 = 4 + 26 t 2 3 / 2

E o vetor d r → ? Bom, ele é a derivada de r → :

d r → = 0 i → + j → + 5 k →

E a função F → na nova parametrização? Saca só:

F → = K 2 , t , 5 t / 4 + 26 t 2 3 / 2

Passo 2

Beleza! Agora para calcular o trabalho temos:

W = ∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 1 K 2 , t , 5 t 4 + 26 t 2 3 2 ⋅ 0,1 , 5 d t

Pronto! Agora precisamos fazer o produto escalar do integrando e fazer a integral! Vamos lá?

W = K ∫ 0 1 1 4 + 26 t 2 3 2 2.0 + t . 1 + 5 t . 5 d t = K ∫ 0 1 26 t 4 + 26 t 2 3 2 d t

Agora vamos resolver por substituição simples. Supondo 4 + 26 t 2 como u , então d u 2 = 26 t   d t     e assim ficamos com a seguinte integral:

W = - 2.1 2 . 1 4 + 26 t 2 1 2 0 1 = - K 1 30 - 1 2 = K 1 2 - 1 30

Feito! É esse o trabalho realizado!

Resposta

W = K 1 2 - 1 30

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Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = e y i → + x e yj → + z + 1 e z k → ,C : r → t = t i →t 2 j → + t 3 k →0 ≤ t ≤