Enunciado

Expresse a integral ∭ E f x , y , z   d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas.

y 2 + z 2 = 9 ,           x = - 2 ,           x = 2

Passo 1

O que a questão pede é que analisemos e representemos o espaço de integração E de 6 maneiras diferentes, dos três tipos diferentes para integral tripla e para cada tipo, dois tipos diferentes na dupla.

Neste caso específico, não importa como vamos representar o espaço, a variação de x é sempre - 2 ≤ x ≤ 2 . E podemos colocar x em qualquer posição na fila de integração, analisando as outras variáveis, vamos manipular a equação

y 2 + z 2 = 9

Isolando y temos

y = ± 9 - z 2

E quando y = 0

z 2 = 9

z = ± 3

Se isolarmos z temos

y 2 + z 2 = 9

z = ± 9 - y 2

Quando z = 0

y 2 = 9

y = ± 3

Passo 2

Temos então que

∭ E f x , y , z   d V = ∫ - 2 2 ∫ - 3 3 ∫ - 9 - z 2 9 - z 2 f x , y , z   d y d z d x = ∫ - 2 2 ∫ - 3 3 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 f x , y , z   d z d y d x

= ∫ - 3 3 ∫ - 2 2 ∫ - 9 - z 2 9 - z 2 f x , y , z   d y d x d z = ∫ - 3 3 ∫ - 2 2 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 f x , y , z   d z d x d y

= ∫ - 3 3 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2   ∫ - 2 2 f x , y , z   d x d z d y = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - z 2 9 - z 2   ∫ - 2 2 f x , y , z   d x d y d z

Resposta

∭ E f x , y , z   d V = ∫ - 2 2 ∫ - 3 3 ∫ - 9 - z 2 9 - z 2 f x , y , z   d y d z d x = ∫ - 2 2 ∫ - 3 3 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 f x , y , z   d z d y d x

= ∫ - 3 3 ∫ - 2 2 ∫ - 9 - z 2 9 - z 2 f x , y , z   d y d x d z = ∫ - 3 3 ∫ - 2 2 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 f x , y , z   d z d x d y

= ∫ - 3 3 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2   ∫ - 2 2 f x , y , z   d x d z d y = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - z 2 9 - z 2   ∫ - 2 2 f x , y , z   d x d y d z

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