Enunciado

A figura mostra a região de integração da integral

∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ 0 1 - y f x , y , z   d z d y d x

Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras ordens.

Passo 1

Pela analise do gráfico podemos colocar nas regiões

∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ 0 1 - y f x , y , z   d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 y 2 ∫ 0 1 - y f x , y , z   d z d x d y

Podemos também colocar na integral mais interna a variação de y da seguinte forma x ≤ y ≤ 1 - z e a variação das outras variáveis, vai sair da intersecção entre y = x e y = 1 - z

x = 1 - z

No plano z × x temos

z = 1 - x

Ou

x = 1 - z 2

E podemos ter

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ x 1 - z f x , y , z   d y d z d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 ∫ x 1 - z f x , y , z   d y d x d z

E se colocarmos x entre funções de y e z temos a variação 0 ≤ x ≤ y 2 enquanto as outras variáveis variam de 0 ao plano z = 1 - y e temos

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y ∫ 0 y 2 f x , y , z   d x d z d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z ∫ 0 y 2 f x , y , z   d x d y d z

Resposta

∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ 0 1 - y f x , y , z   d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 y 2 ∫ 0 1 - y f x , y , z   d z d x d y

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ x 1 - z f x , y , z   d y d z d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 ∫ x 1 - z f x , y , z   d y d x d z

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y ∫ 0 y 2 f x , y , z   d x d z d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z ∫ 0 y 2 f x , y , z   d x d y d z

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral tripla usando apenas interpretação geométrica e simetria. ∭ C 4 + 5 x 2 y z 2d V , onde C é a região cilíndrica x 2 + y 2 ≤ 4 , - 2 ≤ z ≤ 2 .
Expresse a integral ∭ E f x , y , z d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o solido limitado pelas superfícies dada. z = 0 ,x = 0 ,y = 2 ,z = y - 2 x
Expresse a integral ∭ E f x , y , z d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o solido limitado pelas superfícies dada. x 2 + z 2 = 4 ,y = 0 , y = 6
Calcule a integral tripla usando apenas interpretação geométrica e simétrica. ∭ B z 2 + s e ny + 3 d V , onde B é a bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1
Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 y ∫ x 1 6 x y zd zd xd y