3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

o )   ∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ x d x

Passo 1

Vamos usar uma identidade trigonométrica para resolver essa integral, a melhor que se adequa é a sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x . Substituindo na integral:

∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ x d x =   ∫ 2   sin ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x d x

Podemos cortar o cosseno do numerador com o do denominador, chegando a

∫ 2 sin ⁡ x d x

Passo 2

Agora vamos resolver essa integral que se trata de uma primitiva imediata dada por ∫ sin ⁡ α x   d x =   - 1 α cos ⁡ α x + k . Então,

∫ 2 sin ⁡ x d x = - 2 cos ⁡ x + k

Passo 3

Agora para verificarmos, vamos derivar. Lembrando que ( cos ⁡ u ) ' = - u ' sin ⁡ u . Logo,

- 2 cos ⁡ x + k ' =   - ( - 2 sin ⁡ x ) + 0 = 2 sin ⁡ x

Para voltar ao resultado anterior, vamos multiplicar e dividir esse termo por cos ⁡ x .

2 sin ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x

E como já sabemos, sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x . Então,

2 sin ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x =   sin ⁡ 2 x cos ⁡ x

Assim, confirmamos o resultado da integral

Resposta

Portanto, a resposta é

∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ x d x = - 2 cos ⁡ x + k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados