Calcule f'(x) , pela definição.

a) f(x) = x^2 + x

Passo 1

Essa é uma parte HARD de Cálculo. Calcular pela definição é sempre mais complicadinho, mas nunca dá erro. Inclusive, as vezes os truques de derivação não dão certo, então seremos forçados a calcular pela definição. Treinar isso é importante. Então vamos arregaçar as mangas. Vamos relembrar que a definição de derivada f ' ( x ) é:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Passo 2

Aqui temos que

f x = x 2 + x

e

f x + h = x + h 2 + ( x + h )

Então substituindo na definição temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 2 + x + h - x 2 - x h

Passo 3

Agora vamos abrir a parte quadrada do numerador:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x 2 + h 2 + 2 x h + x + h - x 2 - x h =

lim h → 0 ⁡ h 2 +   2 x h + h h →   lim h → 0 ⁡ h ( h +   2 x + 1 ) h

lim h → 0 ⁡ h +   2 x + 1

Agora nós vamos aplicar esse limite, quando h → 0 o valor de f ' ( x ) é:

f ' x = 2 x + 1

Terminamos por aqui. Te vejo no próximo exercício: )

Resposta

f ' x = 2 x + 1

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