Enunciado

As funções seno e cosseno de Fresnel S ( x ) e C ( x ) foram definidas nas Fórmulas (13) e (14) e têm seus gráficos mostrados na Figura 5.10.4. Suas derivadas foram dadas nas Fórmulas (15) e (16).

(a) Em que pontos C ( x ) tem mínimos relativos? E máximos relativos?

(b) Onde ocorrem os pontos de inflexão de C ( x ) ?

(c) Confirme que suas respostas em (a) e (b) estão em conformidade com o gráfico de C ( x ) .

Passo 1

(a) Para achar os máximos e mínimos relativos de C ( x ) , vamos ter que analisar os pontos onde C ' x = 0 . Sendo:

C ' x = cos ⁡ π x 2 2

Sabemos que cos ⁡ t zera e sai de valores positivos para valores negativos quando seu argumento é t = 2 n π + π 2 . Por isso, esses sãos pontos de máximo relativo.

Podemos igualar esse argumento ao de C ' ( x ) , e descobrir o valor de x onde teremos nosso máximo relativo:

2 n π + π 2 = π x 2 2 ∴ x = ± 4 n + 1 ,   n = 0,1 , 2 , …

Esses serão nossos pontos de máximo relativo.

Passo 2

E sabemos que cos ⁡ t também zera e sai de valores negativos para positivos em t = 2 n π - π 2 . Esses são pontos de mínimo relativo.

Também podemos igualar os argumentos aqui para descobrir nosso x :

2 n π - π 2 = π x 2 2 ∴ x = ± 4 n - 1 ,   n = 1,2 , …

Esses são nossos pontos de mínimo relativo.

Passo 3

(b) Os pontos de inflexão ocorrem em C ' ' ( x ) . Calculando a derivada segunda:

C ' ' x = - π x   s e n π x 2 2

Sabemos que essa expressão zera em x = 0 . Esse é o nosso primeiro ponto de inflexão.

O segundo nós podemos achar sabendo que a função seno zera quando seu argumento é igual a n π . Igualando esse valor ao argumento do seno da nossa derivada:

n π = π x 2 2 ∴ x = ± 2 n ,   n = 1,2 , …

Logo, também teremos pontos de inflexão nesses valores de x .

Passo 4

(c)Esse é o gráfico de C ( x ) :

Vemos que de fato temos máximos em x = + 4 n + 1 ,   n = 0,1 , 2 , … e mínimos em x = + 4 n - 1 ,   n = 1,2 , … , mas na realidade, também temos máximos em x = - 4 n - 1 ,   n = 1,2 , … e mínimos em x = - 4 n + 1 ,   n = 0,1 , 2 , …

Ou seja, quando a gente vai para x < 0 , as classificações se invertem em relação as que calculamos.

Já quando a gente pensa nos pontos de inflexão, eles realmente estão x = ± 2 n , n = 1,2 , … e x = 0 .

Resposta

  1. máximos em x = ± 4 n + 1 ,   n = 0,1 , 2 , … e mínimos em x = ± 4 n - 1 ,   n = 1,2 , …
  2. x = 0 ,     x = ± 2 n ,   n = 1,2 , …
  3. Discussão nos passos
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Escreva um parágrafo curto comparando a Definição 5.10.1 com a definição da função logaritmo natural dada no Capítulo 0. Não esqueça de incluir as questões de continuidade e diferenciabilidade.
Prove: Se f for contínua em um intervalo aberto e a for um ponto qualquer no intervalo, então: F x = ∫ a x f t d t É contínua no intervalo.
Encontre uma função f e um número a tais que 4 + ∫ a x f ( t ) d t = e 2 x
Determine o(s) pontos(s) de inflexão do gráfico de F do Exercício.
Expresse F ( x ) por partes, de forma que não envolva uma integral. F x = ∫ - 1 x t d t