Enunciado

34. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores a ,   b ,   c :

a = i ^ + j ^ + k ^

b = i ^ - j ^ + k ^

c = - i ^ + j ^ + k ^

Passo 1

Como queremos saber o volume do paralelepípedo formado pelos 3 vetores, basta acharmos o modulo do produto misto, nossos vetores são:

a = i ^ + j ^ + k ^

b = i ^ - j ^ + k ^

c = - i ^ + j ^ + k ^

Logo, o produto misto será:

a ∙ b × c   = 1 1 1 1 - 1 1 - 1 1 1

Passo 2

Calculando, temos:

a ∙ b × c   = 1 - 1 1 1 1 - 1 1 1 - 1 1 + 1 1 - 1 - 1 1

Logo,

a ∙ b × c = 1 ( - 1 ⋅ 1 - 1 ⋅ 1 ) - 1 ( 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ) + 1 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1

Fazendo as contas:

a ∙ b × c = - 2 - 2 + 2

Assim,

a ∙ b × c = - 2

Como o volume é o modulo do produto misto:

V = a ∙ b × c = - 2 = 2

Resposta

V = 2

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Calcule o volume do paralelepípedo com lados adjacentes P Q , P R e P S P 0 , 1 , 2 Q 2 , 4 , 5 R - 1 , 0 , 1 S 6 , - 1,4
O produto misto [ u → ,v → ,w → ] é α . Mudando-se a orientação de V 3 , ele passa a ser β . Qual a relação entre α e β ?
Sejam u → e v → dois vetores LI e w → um vetor não nulo. Sendo a n g u → ,v → = φ e a n g u → ∧ v → ,w → = θ , exprima [ u → ,v → ,w → ] em função de φ ,θ e das normas dos vetores.
Sejam u → e v → vetores não-nulos respectivamente paralelos às retas r e s , P um ponto de r , Q um ponto de s . Mostre que r e s são coplanares se, e somente se, u → ,v → ,P Q → = 0 .
As arestas O A ,O B e O C do tetraedro O A B C mede, respectivamente, a ,b e c , e as medidas dos ângulos A Ô B ,B Ô C Ô Ô e C Ô A Ô , são (respectivamente) α ,β e γ . Calcule o volume do tetraedro em