Enunciado

Determine se a série

2 5 + 2 ⋅ 6 5 ⋅ 8 + 2 ⋅ 6 ⋅ 10 5 ⋅ 8 ⋅ 11 +   2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 14 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 14 + …  

é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Fala aí, pessoal!

A questão nos pede para determinar se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Uma série é chamada absolutamente convergente se a soma de seus termos em módulo for convergente, isto é, se nós pegarmos a soma dos valores absolutos dos infinitos termos da série dada e essa soma for um número real, a série é chamada de absolutamente convergente.

Por outro lado, ela é chamada de condicionalmente convergente se ela convergir, ou seja, se a soma tender a um número real, mas, ao mesmo tempo, não for absolutamente convergente.

Por último, a série é divergente se a soma de seus termos tender ao infinito positivo ou negativo.

Existe um teorema que diz o seguinte: se uma série ∑ a n for absolutamente convergente, então ela é convergente.

E, para determinarmos se uma série é absolutamente convergente, nós usaremos o Teste da Razão, que diz o seguinte:

  1. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L < 1 , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
  2. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L > 1 ou se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = ∞ , então a série dada é divergente.
  3. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L = 1 , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.

Nós usaremos este teste para concluir se a série dada é absolutamente convergente ou não.

Passo 2

Então, pessoal, vamos determinar a expressão para a divisão absoluta a n + 1 a n para nós podermos usar o Teste da Razão.

Observe que os fatores do numerador dos termos da série da questão seguem a progressão aritmética (P.A.) 2, 6, 10, 14, 18..., de razão 4, enquanto os fatores do denominador seguem a P.A. 5, 8, 11, 14, 17..., de razão 3.

Que tal lembrar como se calcula o termo geral de uma P.A.? É simples! Basta utilizar a seguinte fórmula:

b n = b 1 + r n - 1

Em que b n é o n-ésimo termo da sequência, b 1 é o primeiro termo e r é a razão da P.A.

Sendo assim, o n-ésimo termo do numerador pode escrito como:

b n = 2 + 4 n - 1 = 4 n - 2

Enquanto o n-ésimo termo do denominador é dado por:

c n = 5 + 3 n - 1 = 3 n + 2

Portanto, segue que o n-ésimo termo, a n , da série do problema pode ser expressa em termos de n como:

a n = 2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ b n 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ c n = 2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ ( 4 n - 2 ) 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ ( 3 n + 2 )

Agora, precisamos encontrar o termo a n + 1 da série. Para isso, basta mutiplicarmos o termo b n + 1 da primeira P.A ao numerador e o termo c n + 1 ao denominador de a n . Portanto, segue que:

a n + 1 =   2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ 4 n - 2 ⋅ b n + 1 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ 3 n + 2 ⋅ c n + 1 =     2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ 4 n - 2 ⋅ ( 4 n + 2 ) 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ 3 n + 2 ⋅ ( 3 n + 5 )

Galera, veja que os termos da série dada são todos positivos, então não precisamos nos preocupar com o sinal quando formos calcular a razão a n + 1 a n .

Sendo assim,

a n + 1 a n = a n + 1 a n = 2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ 4 n - 2 ⋅ ( 4 n + 2 ) 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ 3 n + 2 ⋅ ( 3 n + 5 ) 2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ ( 4 n - 2 ) 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ ( 3 n + 2 )

Ou seja,

a n + 1 a n = a n + 1 a n = 2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ 4 n - 2 ⋅ 4 n + 2 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ 3 n + 2 ⋅ 3 n + 5 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ 3 n + 2 2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 14 ⋅ … ⋅ 4 n - 2

E vemos que todos os n primeiros termos tanto do numerador quanto do denominador podem ser cortados por serem igual e obtemos que:

a n + 1 a n = a n + 1 a n = 4 n + 2 3 n + 5

Passo 3

Determinada a razão a n + 1 a n , precisamos determinar seu limite quando n tende ao infinito. Colocando a variável n em evidência tanto no numerador quanto no denominador da última expressão encontrada, nós obtemos que:

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 4 n + 2 3 n + 5 = lim n → ∞ ⁡ n 4 + 2 n n 3 + 5 n = lim n → ∞ ⁡ 4 + 2 n 3 + 5 n

Quando a variável n se torna cada vez maior, tanto a fração 2 n quanto a fração 5 n se tornam cada vez mais próximas de zero. Consequentemente,

a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 4 + 2 n 3 + 5 n = 4 3 > 1

E segue do Teste da Razão que a série dada é divergente.

Resposta

A série dada é divergente pelo Teste da Razão.

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