Enunciado

Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?

c) ∑ n = 1 ∞ - 3 n n

Passo 1

Fala aí, galera! Esta questão nos pede para verficar se o Teste da Razão é conclusivo ou não para a série dada. O Teste da Razão nos diz que:

  1. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L < 1 , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
  2. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L > 1 ou se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = ∞ , então a série dada é divergente.
  3. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L = 1 , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.

Assim, para resolvermos o problema, precisamos determinar as expressões para o n-ésimo e (n+1)-ésimo termo da série, escrever a divisão a n + 1 a n e, então, tirar o módulo dessa razão. Feito isso, nós calculamos o limite desse módulo quando n tende ao infinito e verficamos se o resultado é menor que, maior que, igual a 1 ou tende ao infinito.

Passo 2

O termo an já nos foi dado. Ele acompanha o símbolo de somatório. Logo,

a n = - 3 n n

O termo an+1, por sua vez, pode ser obtido substituindo n por n + 1 na equação acima. Assim, temos que:

a n + 1 = - 3 n + 1 n + 1

Dessa forma, temos que:

a n + 1 a n = - 3 n + 1 n + 1   - 3 n n = - 3 n + 1 n + 1 ⋅ n - 3 n = - 3 n n + 1

Veja que a razão a n + 1 a n é negativa, pois a raiz quadrada que aparece nela é sempre positiva e essa raiz está sendo multiplicada por –3, que é um inteiro negativo. Logo, para determinarmos o valor absoluto de a n + 1 a n , nós teremos que inverter o seu sinal. Assim:

  a n + 1 a n = - a n + 1 a n = - - 3 n n + 1 = 3 n n + 1  

Passo 3

Então, galera, nós calculamos a razão a n + 1 a n . Agora, nós precisamos calcular seu limite quando n tende ao infinito:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 3 n n + 1   = lim n → ∞ ⁡ 3 n n 1 + 1 n   = lim n → ∞ ⁡ 3 1 1 + 1 n

Veja que, quando n cresce muito, o valor de 1/n se torna cada vez mais próximo de zero. Assim, o numerador dentro da raiz da razão a n + 1 a n se aproxima cada vez mais de 1. Dessa forma, a raiz quadrada se aproxima de 1 e o limite acima tende a 3 . Logo,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 3 1 1 + 1 n = 3  

Como o limite é maior que 1, o Teste da Razão é conclusivo para este caso e podemos garantir que a série diverge.

Resposta

O Teste da Razão é conclusivo para esta questão, pois:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 3 > 1

Portanto, a série é divergente.

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Os termos de uma serie são definidos recursivamente pelas equações: a 1 = 2a n + 1 = 5 n + 1 4 n - 3 a n Determine de ∑ a n converge ou diverge.
O que você pode dizer sobre a serie ∑ a n nos casos: a) lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 8 b)lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 0,8 c)lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 10 n n !
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2