7. Calcule

b ) ∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ x   d x  

Passo 1

Olá, tudo bem?! Vem comigo resolver essa atividade de cálculo?

Aqui deveremos resolver a integral:

∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ x   d x  

Vamos usar a identidade verificada na letra a, dada por sin 2 ⁡ x = 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x . Então, substituindo ficamos com:

∫ sin 2 ⁡ x   d x =   ∫ 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x d x

Passo 2

Temos a primitiva imediata de uma constante dada por:

∫ c   d x = c x + k

sendo c e k constantes. Enquanto que a segunda integral é da função cosseno, com primitiva imediata dada:

∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k

sendo k uma constante. Logo:

∫ 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x d x

=   1 2 x - 1 2 ⋅ 1 2 sin ⁡ 2 x + k

= 1 2 x - 1 4 sin ⁡ 2 x + k

Passo 3

Agora, vamos substituir o intervalo de integração:

∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ x   d x   = 1 2 x - 1 4 sin ⁡ 2 x 0 π 4

= 1 2 π 4 - 1 4 sin ⁡ π 4 ⋅ 2 - 1 2 0 - 1 4 sin ⁡ π 4 ⋅ 0

= π 8 - 1 4

Resposta

Portanto, a resposta é

∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ x   d x = π 8 - 1 4

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