7. Calcule

b ) ∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ x   d x  

Passo 1

Vamos usar a identidade verificada na letra a, dada por sin 2 ⁡ x = 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x . Então, substituindo ficamos com:

∫ sin 2 ⁡ x   d x =   ∫ 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x d x

Passo 2

Temos a primitiva imediata de uma constante dada por ∫ c   d x = c x + k ,   sendo c e k constantes. Enquanto que a segunda integral é da função cosseno, com primitiva imediata dada ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k , sendo k uma constante. Logo,

∫ 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x d x =   1 2 x - 1 2 * 1 2 sin ⁡ 2 x + k = 1 2 x - 1 4 sin ⁡ 2 x + k

Passo 3

Agora, vamos substituir o intervalo de integração

∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ x   d x =   1 2 π 4 - 1 4 sin ⁡ 2 π 4 -   0 - 1 4 sin ⁡ 0 = π 8 - 1 4 sin ⁡ π 2 =   π 8 - 1 4  

Resposta

Portanto, a resposta é

∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ x   d x = π 8 - 1 4

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