Enunciado

  1. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais que

d)   2 x 2 + y 2 ≤ 1   e   y ≥ 0

Passo 1

Fórmula para o volume do sólido,

V = π ∫ a b f x 2 d x

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

Para 2 x 2 + y 2 ≤ 1 ,     é   u m   e l i p s o i d e   ,   c o m   a   r o t a ç ã o   e   d e l i m i t a d a   p o r   y ≥ 0 ,   o   g r á f i c o   s e r á   d e s s a   f o r m a :

Vamos calcular a parte de cima, e como um quarto da elipse é simétrica, calcularemos somente um quarto e duplicarenos seu volume no final, antes disso, precisamos saber onde a elipse toca no eixo x.

2 x 2 + y 2 ≤ 1

2 x 2 + 0 ≤ 1

x 2 ≤ 1 2

- 2 2 ≤ x ≤ 2 2

  V = 2 * π ∫ 0 2 2 1 - 2 x 2 2 d x

Passo 3

Resolvendo...

V = 2 π x - 2 x 3 3 0 2 2 = 2 π 2 2 - 2 2 2 3 3 - 0 = 2 π 2 2 - 2 2 3 = 2 π 3 2 6 - 2 6 = 2 π 2 2 6

Resposta

  V = 2 2 π 3

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