Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

1 x ≤ y ≤ 1   e   1 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Faremos três gráficos das funções do problema e mais o gráfico de interseção entre as funções.

Mas por que faríamos três?

Simplesmente porque y está definido entre duas funções e faremos um gráfico para cada lado da inequação.

Vamos lá, vem tranquilo e sem afobação:

Inicialmente iremos fazer um esboço dos gráficos das figuras da questão:

1 ≤ x ≤ 2

1 x ≤ y

Lembrando que esse é apenas o lado esquerdo da inequação, temos que fazer o lado direito

y ≤ 1

E agora faremos a interseção entre todos eles, e será representado de verde.

Passo 2

Para calcular o volume do sólido rotacionado em torno do eixo x, temos que analisar qual é a interseção e qual os intervalos de integração, que serão as retinhas que delimitam a figura de interseção entre os gráficos:

Nesse problema você pode dar uma olhada e vai perceber que é para x = 1   e   x = 2

O volume nessa questão vai ser dado pela diferença entre V 1 , volume delimitado por y ≤ 1 , e V 2 , volume delimitado por 1 x ≤ y .

Caso tenha esquecido a fórmula de calcular, aí está:

  V = π ∫ f ( x ) 2 d x

Passo 3

Vamos começar com V 1 :

f ( x ) = 1 ;   f 2 ( x ) = 1

Intervalo de integração de 1   a   2 :

V 1 = π ∫ 1 2 d x = x 2 1 = π

Agora vamos para V 2 :

f ( x ) = 1 x ; f 2 ( x ) = 1 x 2

Com intervalo de integração de 1   a   2 :

V 2 = π ∫ 1 2 1 x 2 d x = - 1 x 2 1 = π 2

Estamos quase acabando, mas não se distraía agora, depois de tanto trabalho temos que acertar uma questão dessa! Faremos a diferença entre esses dois volumes e teremos acabado!

V = V 1 - V 2 = π - π 2 = π 2

Resposta

V = π 2

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Ache o comprimento do arco da curva y = ln ⁡ c o s s e cxd ex = π 6 ax = π 2 .
Prove que lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0 por dois métodos. (a) Seja x = 1 t e use o resultado do E xercício 55 nos Exercícios 7.3.(b) Primeiro prove que ∫ 1 x 1 t d t ≥ ∫ 1 x 1 t d t aplicando o teorema 5
y = x 2 x 2 + 4
y = 2 x - 3
17. Deduza a fórmula para o volume de uma esfera, rotacionando a região limitada pela circunferência x 2 + y 2 = r 2 e pelo eixo x em torno do eixo x .