Enunciado

Calcule.

int sqrt(- x^2 + 2 x + 3) d x

Passo 1

Vamos manipular um pouco a expressão, vamos completando o quadrado dentro da raiz. A expressão - (x - 1)^2 = - x^2 + 2 x - 1 é bem parecida com a que temos, então vamos fazer assim:

- x^2 + 2 x + 3 = - x^2 + 2 x - 1 + 4 = - (x - 1)^2 + 4

Substituindo:

int sqrt(- x^2 + 2 x + 3) d x = int sqrt(- (x - 1)^2 + 4) d x

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos à obra! Agora vamos fazer uma mudança de variável para calcular essa integral:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x = d x

Vamos agora fazer a substituição:

int sqrt(- (x - 1)^2 + 4) d x = int sqrt(- u^2 + 4) d u

Passo 2

Agora vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(a^2 - x^2) , nesse formato de expressão vamos fazer u = a sen theta e utilizar a identidade trigonométrica sen^2 theta + cos^2 theta = 1 :

u = 2 sen theta -> theta = arcsen ((u)/(2))

d u = 2 cos theta d theta

int sqrt(- u^2 + 4) d u = int sqrt(- (2 sen theta)^2 + 4) 2 cos theta d theta = int sqrt(- 4 sen^2 theta + 4) 2 cos theta d theta

Usando a identidade trigonométrica sen^2 theta + cos^2 theta = 1 -> 1 - sen^2 theta = cos^2 theta :

int sqrt(- 4 sen^2 theta + 4) 2 cos theta d theta = int sqrt(4 (1 - sen^2 theta)) 2 cos theta d theta = int 2 sqrt(4 cos^2 theta) cos theta d theta = int 2 * 2 cos theta cos theta d theta = int 4 cos^2 theta d theta

Agora vamos usar outra identidade trigonométrica cos^2 x = (1 + cos (2 x))/(2) :

int 4 cos^2 theta d theta = int 4 (1 + cos (2 theta))/(2) d theta = 2 int 1 + cos (2 theta) d theta

E vamos fazer uma última substituição:

v = 2 theta

d v = 2 d theta -> d theta = (d v)/(2)

2 int 1 + cos (2 theta) d theta = 2 int 1 + cos v (d v)/(2) = int 1 + cos v d v

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

int cos x d x = sen x + C

Agora é só aplicar:

int 1 + cos v d v = v + sen v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

int sqrt(- x^2 + 2 x + 3) d x = v + sen v + C = 2 theta + sen (2 theta) + C = 2 arcsen ((u)/(2)) + sen (2 arcsen ((u)/(2))) + C = 2 arcsen ((x - 1)/(2)) + sen (2 arcsen ((x - 1)/(2))) + C

Resposta

int sqrt(- x^2 + 2 x + 3) d x = 2 arcsen ((x - 1)/(2)) + sen (2 arcsen ((x - 1)/(2))) + C

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