Enunciado

  1. Calcule

b) int_(- 1)^1 (1)/(| x |) d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = int_(- 1)^1 (1)/(| x |) d x

Como nossa função é descontínua em x = 0 , vamos fazer o seguinte:

I = underset(t -> 0)(lim) int_(- 1)^t (1)/(| x |) d x + underset(t -> 0)(lim) int_t^1 (1)/(| x |) d x

Nesse caso, temos que fazer essa brincadeira de dividir em dois termos e usar underset(t -> 0)(l i m) para não termos o problema do denominador zerar. Beleza?!

Passo 2

Agora vamos resolver a integral. O primeiro termo fica o seguinte:

I_1 = int_(- 1)^t (1)/(|x|) d x

Como estamos com valores negativos de x :

I_1 = int_(- 1)^t - (1)/(x) d x

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

I_1 = [- 1 xx ln ( x )]_(- 1)^t

Assim,

I_1 = ln (- 1) - ln (t)

Pra finalizar essa parte, vamos calcular o seguinte:

underset(t -> 0)(lim) int_(- 1)^t (1)/(|x|) d x = underset(t -> 0)(l i m) [ln (- 1) - ln (t)] = ln (- 1) - ln (0)

Portanto,

underset(t -> 0)(lim) int_(- 1)^t (1)/(|x|) d x = oo

Passo 3

O segundo caso é bem parecido, olha só:

I_2 = int_t^1 (1)/(|x|) d x

Como estamos com valores positivos de x :

I_2 = int_t^1 (1)/(x) d x

Usando o lembrete ali de cima:

I_2 = [ln |x|]_t^1

Portanto,

I_2 = ln (t) - ln (1) = ln (t)

Agora vamos calcular o limite:

underset(t -> 0)(lim) int_t^1 (1)/(|x|) d x = underset(t -> 0)(lim) [ln (t)] = ln (0)

Logo,

underset(t -> 0)(lim) int_t^1 (1)/(|x|) d x = - oo

Passo 4

Agora vamos juntar as coisas!

I = underset(t -> 0)(lim) int_(- 1)^t (1)/(| x |) d x + underset(t -> 0)(lim) int_t^1 (1)/(| x |) d x

Logo,

I = (oo) - (- oo) = 2 xx oo

Por fim,

I = oo

Resposta

int_(- 1)^1 (1)/(| x |) d x = oo

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1. Esboce o gráfico da função F dada por d) int_1^x f (t) d t ondef (t) = {[[0 s e t = 1],[1 s e t1]])
Seja F(x) = ∫ 0 x f t d to n d ef t ={ 2 s e t=1 1 s e t≠1 Verifique que F'(x) = f(x) em todo x em que f for contínua.F é derivável em x = 1? Em caso afirmativo, calcule F'(1) e compare com f(1).
Esboce o gráfico da função F dada pore) F (x) = int_0^x f (t) d t ondef (t) = {[[t s e - 2 = t = 0],[e^(- t) s e t0]])
Seja F (x) = int_0^x f (t) d t ondef (t) = {_(2 s e t = 1)^(t s e t != 1) Esboce o gráfico de F Calcule F ' ( x )
Esboce o gráfico da função F dada pora) F (x) = int_0^x f (t) d t ondef (t) = {[[2 s e 0 = t1],[(1)/(t) s e t = 1]])