1. Calcule

d) ∫ - 2 2 g u d u     onde     g u = 1 u 2           s e     u ≥ 1 u                       s e   u < 1  

Passo 1

A função que queremos integrar é:

g u = 1 u 2           s e     u ≥ 1 u                       s e   u < 1

Como g ( u ) é continua no intervalo [ - 2,2 ] , então ela é integrável. Reescrevendo g ( u ) , temos:

g u = 1 u 2                   s e     u ≤ - 1 u         s e - 1 < u < 1 1 u 2                         s e     u ≥ 1

Como queremos integrar entre os pontos - 2 e 2 e nossa função não segue sempre a mesma expressão, podemos fazer o seguinte:

∫ - 2 2 g u d u = ∫ - 2 - 1 g u d u + ∫ - 1 1 g ( u ) d u + ∫ 1 2 g ( u ) d u

Passo 2

No intervalo [ - 2 , - 1 ] :

g u = 1 u 2

Logo,

I 1 = ∫ - 2 - 1 1 u 2 d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

I 1 = - 1 u | - 2 - 1

Fazendo as contas:

I 1 = - 1 × 1 - 2 - 1 - 1 → I 1 = 1 2

Agora vamos analisar o intervalo - 1,1 :

g u = u

Assim,

I 2 = ∫ - 1 1 u d u

Integrando, temos:

I 2 = u 2 2 | - 1 1

Fazendo as contas:

I 2 = 1 2 2 - - 1 2 2 = 1 2 - 1 2 = 0

Passo 3

Por último, temos o intervalo [ 1,2 ] vamos fazer quase a mesma cosia do intervalo [ - 2 , - 1 ] :

g u = 1 u 2

Logo,

I 3 = ∫ 1 2 1 u 2 d u

Integrando:

I 3 = - 1 u | 1 2

Fazendo as contas:

I 3 = - 1 × 1 2 - 1 1 → I 3 = 1 2

Juntando tudo, temos:

∫ - 2 2 g ( u ) d u = ∫ - 2 - 1 g u d u + ∫ - 1 1 g u d u + ∫ 1 2 g u d u → 1 2 + 0 + 1 2 = 1

Resposta

∫ - 2 2 g ( u ) d u = 1

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