Enunciado

  1. Calcule

d) int_(- 2)^2 g (u) d u onde g (u) = {[[(1)/(u^2) s e |u| >= 1],[u s e |u| < 1]])

Passo 1

A função que queremos integrar é:

g (u) = {[[(1)/(u^2) s e |u| >= 1],[u s e |u| < 1]])

Como g ( u ) é continua no intervalo [ - 2,2 ] , então ela é integrável. Reescrevendo g ( u ) , temos:

g (u) = {[[(1)/(u^2) s e u <= - 1],[u s e - 1 < u < 1],[(1)/(u^2) s e u >= 1]])

Como queremos integrar entre os pontos - 2 e 2 e nossa função não segue sempre a mesma expressão, podemos fazer o seguinte:

int_(- 2)^2 g (u) d u = int_(- 2)^(- 1) g (u) d u + int_(- 1)^1 g ( u ) d u + int_1^2 g ( u ) d u

Passo 2

No intervalo [ - 2 , - 1 ] :

g (u) = (1)/(u^2)

Logo,

I_1 = int_(- 2)^(- 1) (1)/(u^2) d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

I_1 = - (1)/(u) |_(- 2)^(- 1)

Fazendo as contas:

I_1 = - 1 xx ((1)/(- 2) - (1)/(- 1)) -> I_1 = (1)/(2)

Agora vamos analisar o intervalo [- 1,1] :

g (u) = u

Assim,

I_2 = int_(- 1)^1 u d u

Integrando, temos:

I_2 = (u^2)/(2) |_(- 1)^1

Fazendo as contas:

I_2 = [(1^2)/(2) - ((- 1)^2)/(2)] = (1)/(2) - (1)/(2) = 0

Passo 3

Por último, temos o intervalo [ 1,2 ] vamos fazer quase a mesma cosia do intervalo [ - 2 , - 1 ] :

g (u) = (1)/(u^2)

Logo,

I_3 = int_1^2 (1)/(u^2) d u

Integrando:

I_3 = - (1)/(u) |_1^2

Fazendo as contas:

I_3 = - 1 xx ((1)/(2) - (1)/(1)) -> I_3 = (1)/(2)

Juntando tudo, temos:

int_(- 2)^2 g ( u ) d u = int_(- 2)^(- 1) g (u) d u + int_(- 1)^1 g (u) d u + int_1^2 g (u) d u -> (1)/(2) + 0 + (1)/(2) = 1

Resposta

int_(- 2)^2 g ( u ) d u = 1

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