Enunciado

Uma integral imprópria convergente em um intervalo infinito pode ser aproximada, primeiro, substituindo-se o(s) limite(s) infinito(s) de integração por limite(s) finito(s) e, então, usando uma técnica de integração numérica, como a regra de Simpson, para aproximar a integral com limite(s) finito(s). Essa técnica está ilustrada nestes exercícios.

Suponha que a integral no Exercício 66 foi aproximada escrevendo-a primeiro como

∫ 0 + ∞ e - x 2 d x = ∫ 0 K e - x 2 d x + ∫ K + ∞ e - x 2 d x

e, então, abandonando o segundo termo e aplicando a regra de Simpson à integral

∫ 0 K e - x 2 d x

A aproximação resultante tem duas fontes de erro: o erro da regra de Simpson e o erro

E = ∫ K + ∞ e - x 2 d x

que resulta de descartar o segundo termo. Chamanos E de erro de truncamento.

(a) Aproxime a integral no Exercício 66 aplicando a regra de Simpson, com n = 10 subdivisões à integral

∫ 0 3 e - x 2 d x

Arredonde sua resposta para quatro casas decimais e compare a 1 2 π arredondado para quatro casas decimais.

(b) Use o resultado obtido no Exercício 52 e o fato de que e - x 2 ≤ 1 3 x e - x 2 se x ≥ 3 para mostrar que o erro de truncamento na aproximação de (a) satisfaz 0 < E < 2,1 × 10 - 5 .

Passo 1

Vamos começar resolvendo o item (a), como n = 10 , pela a regra de Simpson, temos:

∫ 0 3 e - x 2 d x

Calculando ∆ x = b - a n = 0,3 , teremos:

= ∆ x 3 f 0 + 4 f 0,3 + 2 f 0,6 + 4 f 0,9 + … + 2 f 2,3 + 4 f 2,6 + 2 f 2,9 + 4 f 3

Logo, ∫ 0 3 e - x 2 d x ≈ 0,8862   e comparando com π 2 = 0,8862 .

Passo 2

Para o item (b), calculamos o erro, logo

∫ 0 + ∞ e - x 2 d x = ∫ 0 3 e - x 2 d x + ∫ 3 + ∞ e - x 2 d x

Então,

E = ∫ 3 + ∞ e - x 2 d x < ∫ 3 + ∞ x e - x 2 d x

1 2 e - 9 < 7 × 10 - 5

Prontinho!!

Resposta

(a)   ∫ 0 3 e - x 2 d x ≈ 0,8862

(b) 1 2 e - 9 < 7 × 10 - 5

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