10. Calcule

e)

∫ t g 2 x d x

Passo 1

Nossa integral é a seguinte:

I = ∫ t g e x d x

Como t g 2 x = s e n ( 2 x ) / cos ⁡ 2 x   :

I = ∫ s e n 2 x cos ⁡ 2 x d x

Passo 2

A ideia aqui vai ser fazer uma substituição de variável, vamos chamar o denominador de u . Olha só:

u = cos ⁡ 2 x

Derivando,

d u = - 2 s e n x d x

OBS: Não esqueça da regra da cadeia!

Então,

- 1 2 d u = s e n x d x

Nossa integral era:

I = ∫ s e n x cos ⁡ x d x

E vai ficar o seguinte:

I = ∫ - 1 2 d u u = - 1 2 ∫ d u u

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + k

Passo 3

Integrando, temos:

I = - 1 2 ln ⁡ u + k

Voltando para variável x :

u = cos ⁡ 2 x

Portanto,

I = - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x + k

Resposta

∫ t g 2 x d x = - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x + k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados