Determine a derivada.

f(x) = cos(e^x)

Passo 1

Vamos analisar a função, temos uma função exponencial dentro de uma função trigonométrica, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

y ' = d y d x = d y d u ⋅ d u d x

Onde u = g x .

Passo 2

Temos que g x é a função mais de dentro e y = f x a função mais de fora:

u = g x = e x

Assim:

y = f x = cos ⁡ u

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função trigonométrica e da função exponencial, vamos dá uma olhada nelas:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = d y d x = d y d u ⋅ d u d x = d d u cos ⁡ u ⋅ d d x e x = - sen ⁡ u ⋅ e x ⋅ x ' = - sen ⁡ u ⋅ e x ⋅ x 1 - 1 = - sen ⁡ u ⋅ e x ⋅ x 0 = - sen ⁡ u ⋅ e x ⋅ 1 = - e x sen ⁡ u

Passo 4

Por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y ' = - e x sen ⁡ u = - e x sen ⁡ e x

Resposta

y ' = - e x sen ⁡ e x

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