Calcule

i) lim x → 0 + ⁡ 1 x + ln ⁡ x

Passo 1

Podemos reescrever o limite assim:

lim x → 0 + ⁡ 1 x + ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ e 1 x + ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x e 1 x = ln ⁡ lim x → 0 + ⁡ x e 1 x

Porém, note que lim x → 0 + ⁡ x e 1 x tem uma indeterminação do tipo “ 0 ∙ ∞ ”.

Passo 2

Então, para resolver o limite, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, assim:

lim x → 0 + ⁡ x e 1 x = lim x → 0 + ⁡ e 1 x 1 x = lim x → 0 + ⁡ e 1 x ' 1 x ' = lim x → 0 + ⁡ e 1 x - 1 x 2 - 1 x 2 = lim x → 0 + ⁡ e 1 x

Repare que substituindo x = 0 + , não há mais indeterminação:

lim x → 0 + ⁡ e 1 x → e 1 0 → e + ∞ → + ∞

Logo,

lim x → 0 + ⁡ 1 x + ln ⁡ x = ln ⁡ lim x → 0 + ⁡ x e 1 x → ln ⁡ + ∞ → + ∞

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 x + ln ⁡ x = + ∞

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