Enunciado

Calcule

q) underset(x -> + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x

Passo 1

O limite da forma que está escrito está com a indeterminação 0^(oo) . Pra escapar dessa furada, vamos usar o macete de escrever o número a^b dessa forma:

a^b = e^(l n a^b) = e^(b l n (a))

E aí o limite fica assim:

underset(x -> + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x = underset(x -> + oo)(lim) e^(ln [(x)/(x^2 + 1)]^x)

underset(x -> + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x = underset(x -> + oo)(lim) e^(x ln [(x)/(x^2 + 1)])

Como a base é constante, o resultado do limite só vai depender do valor do expoente!

underset(x -> + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x = e^((underset(x -> + oo)(lim) x ln [(x)/(x^2 + 1)]))

Passo 2

Então vamos analisar o expoente! O x vai pro infinito, então o que tá dentro do l n vai pra 0 , beleza?

underset(x -> + oo)(lim) x ln [(x)/(x^2 + 1)] -> (+ oo) ln (0) -> (+ oo) (- oo) -> - oo

Logo,

underset(x -> + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x = e^((underset(x -> + oo)(lim) x ln [(x)/(x^2 + 1)])) -> e^(- oo) -> 0

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x = 0

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