Enunciado

Encontre o limite.

underset(x -> 0)(lim) (e^x + x)^((1)/(x))

Passo 1

Primeiramente queremos que aquele grau ali desça, certo? Então aplicamos exponencial e ln para podermos usar de suas propriedades.

underset(x -> 0)(lim) e x p ( l n (e^x + x)^((1)/(x)) )

Com isso podemos descer ali aquele expoente (1)/(x) .

Ficamos então com:

underset(x -> 0)(lim) e^((1)/(x) ln (e^x + x))

O exponencial pode sair do limite ficando:

e^(underset(x -> 0)(lim) (1)/(x) ln (e^x + x))

Passo 2

Calculando o limite de dentro do exponenciaol, podemos reescrever esse ln como:

underset(x -> 0)(lim) (1)/(x) ln (e^x + x)

underset(x -> 0)(lim) (1)/(x) ( ln (e^x) + l n ( e^(- x) x + 1 ) )

underset(x -> 0)(lim) (1)/(x) ( x + l n ( e^(- x) x + 1 ) )

1 + underset(x -> 0)(lim) (ln (e^(- x) x + 1))/(x)

Passo 3

Aplicando agora a regra de L’Hopital temos:

underset(x -> 0)(lim) (ln (e^(- x) x + 1))/(x)

underset(x -> 0)(lim) ((e^(- x) - x e^(- x))/(x e^(- x) + 1))/(1)

underset(x -> 0)(lim) (- ( x - 1 ))/(x + e^x)

Passo 4

Juntando o que temos até agora ficamos com:

e^(1 + underset(x -> 0)(l i m) (- ( x - 1 ))/(x + e^x))

Substituindo o valor do limite ficamos com:

e^(1 - (0 - 1)/(0 + 1)) = e^(1 + 1 )

Resposta

e^2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ x - ln ⁡ x
O Exercício 58 mostra que as formas indeterminadas 0 0 e ∞ 0 podem tomar qualquer valor real positivo. Contudo, muitas vezes ocorre que essas indeterminações tomam o valor 1. Leia o artigo “Indetermin
(a) Use um CAS para mostrar que, se k for uma constante positiva, então lim x → + ∞ ⁡ xk 1 x - 1 = ln ⁡ k (b) Confirme esse resultado usando a regra de L’Hôpital. [Sugestão: Expresse o limite em termo