Enunciado

19) Compute Δ y e d y para os valores dados de x e d x = Δ x . A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos d x , d y e Δ y .

y = 2 x - x 2 ,     x = 2 ,     Δ x = - 0,4

Passo 1

Falaeee, belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular Δ y e d y para os valores dados de x e d x = Δ x .

Para isso, devemos entender como é dado o diferencial de uma função.

Em seguida, a questão nos pede para esboçar um diagrama mostrando os segmentos de reta com comprimentos d x , d y e Δ y .

Como exemplo a gente tem esse aqui:

E aí? Bora lá??

Passo 2

Bom... O diferencial de uma função y = f x é dada por:

d y = f ' x d x

Portanto, derivando a função:

f ' x = 2 - 2 x

Logo, a diferencial é:

d y = ( 2 - 2 x )   d x

Então temos:

d y = [ 2 - 2 ( 2 ) ] ( - 0,4 )

d y = 2 ( 0,4 )

d y = 0,8

Passo 3

E como Δ y = f x + Δ x - f ( x ) então:

Δ y = 2 2 - 0,4 - 2 - 0,4 2 - [ 2 ( 2 ) - 2 2 ]

Δ y = 3,2 - 2,56 - 0

Δ y = 0,64

Temos a reta tangente em a = 2 :

f a + f ' a x - a = L ( x )

0 + ( 2 - 2 ( 2 ) ) x - 2 = L ( x )

- 2 x + 4 = L ( x )

L x = 4 - 2 x

Passo 4

Logo, o gráfico é dado por:

Resposta

d y = 0,8

Δ y = 0,64

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