Enunciado

Um canal de drenagem deve ser feito de tal forma que a secção transversal é um trapézio com os lados igualmente inclinados (Figura Ex-48). Se os lados e a base tiverem um comprimento de 5   m , como escolher o ângulo θ   0 ≤ θ ≤ π 2 , de forma que a área da secção transversal do canal seja máxima?

Passo 1

Então pessoal, o que devemos fazer aqui, pelo menos inicialmente, é escrever as variáveis do nosso problema em termos de θ . Da imagem que nos foi dada conseguimos tirar o seguinte, saca só:

Aqui vale ressaltar que as funções trigonométricas aparecem por conta da decomposição da hipotenusa do triângulo retângulo formado, ok? Show! A área de um trapézio é dada da seguinte forma:

A = 1 2 B + b . h

No qual B é a base maior, b é a base menor e h é a altura do trapézio. De acordo com a figura que desenhamos:

B = b = 5 + 10 cos ⁡ θ

b = 5

h = 5 s e n   θ

Substituindo na nossa expressão, teremos:

A = 1 2 5 + 10 cos ⁡ θ + 5 . 5 s e n   θ

A = 5 2 s e n   θ . 10 1 + cos ⁡ θ

∴ A = 25 s e n   θ 1 + cos ⁡ θ

Passo 2

Como queremos a maior área possível para o trapézio, então estamos falando de ponto de máximo. Sendo assim, vamos em busca desse ponto de máximo! Derivando nossa função, teremos:

d A d θ = 25 cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ + 25 s e n   θ . - s e n   θ

d A d θ = 25 cos ⁡ θ + 25 cos 2 ⁡ θ - 25 s e n 2 θ

Como s e n 2 θ = 1 - cos 2 ⁡ θ , então:

d A d θ = 25 cos ⁡ θ + 25 cos 2 ⁡ θ - 25 + 25 cos 2 ⁡ θ

d A d θ = 50 cos 2 ⁡ θ + 25 cos ⁡ θ - 25

d A d θ = 25 2 cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1

Igualando nossa derivada a zero:

25 2 cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 = 0

2 cos ⁡ θ - 1 cos ⁡ θ + 1 = 0

As únicas possibilidades disso dar zero são se:

2 cos ⁡ θ - 1 = 0

Ou:

cos ⁡ θ + 1 = 0

Da primeira tiramos que cos ⁡ θ = 1 2 , então θ = π 3 . Já da segunda tiramos que cos ⁡ θ = - 1 , então θ = π . No entanto, o nosso intervalo está contido em 0 ≤ θ ≤ π 2 , pois é a validade das componentes de seno e cosseno que escrevemos! Sendo assim, o único ponto crítico é π 3 , além das extremidades do intervalo!

Passo 3

Agora que encontramos o ponto crítico, vamos substitui-lo na nossa expressão da área:

A π 3 = 25 . 3 2 1 + 1 2 = 75 3 4   u . a

Mas como sabemos que essa é a maior área? Bom, para termos certeza vamos substituir as extremidades na nossa expressão também, se liga:

A 0 = 0

A π 2 = 25.1 1 + 0 = 25   u . a

Sendo assim, podemos concluir que, de fato, a maior área é 75 3 4   u . a , no qual o ângulo associado é θ = π 3 !

Resposta

A m á x i m a = 75 3 4   u . a

θ = π 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Enuncie o Teste da Primeira Derivada.Enuncie o Teste da Segunda Derivada. Em que circunstância ele é inconclusivo? O que você faz se ele falha?
Em um certo processo de fabricação química, o peso diário y de produção defeituosa depende do peso x de toda a produção, de acordo com a fórmula empírica: y = 0,01 x + 0,00003 x 2 Onde x e y estão em
Um motorista de caminhão autônomo cobra de um cliente $ 15 por hora dirigida, acrescido do custo do combustível. Dirigindo a uma velocidade de v quilômetros por hora, o caminhão consegue fazer 10 - 0,
Um trapézio é inscrito em um semicírculo com raio 2 , de forma que um lado está sobre o diâmetro (Figura Ex-47). Encontre a maior área possível para o trapézio. [Sugestão: Expresse os lados do trapézi